par
M.Paul Fraux(Institut de Mathématiques de Toulouse)
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Europe/Paris
Amphithéâtre Laurent Schwartz, bâtiment 1R3 (Institut de Mathématiques de Toulouse)
Amphithéâtre Laurent Schwartz, bâtiment 1R3
Institut de Mathématiques de Toulouse
118 route de Narbonne
31062 Toulouse Cedex 9
Description
Cette thèse consiste à comprendre le problème de Dirichlet à l'infini d'une variété Einstein asymptotiquement hyperbolique, c'est-à-dire explorer le lien entre une métrique d'Einstein asymptotiquement hyperbolique et la donnée de la classe conforme de la métrique au bord conforme. Le résultat principal de cette thèse consiste à chercher la régularité d'une métrique d'Einstein asymptotiquement hyperbolique, étant donné une régularité explicite de la classe conforme à l'infini. D'autres résultats sont sur des invariants conformes, ainsi qu'une étude poussée d'une famille explicite de métriques d'Einstein asymptotiquement hyperboliques sur la boule de dimension 4.
Après un rappel du cadre dans lequel on se place, on s'intéresse à trois invariants conformes de la théorie, l'invariant de Yamabe de l'infini conforme, l'invariant de Yamabe-Escobar, et le volume renormalisé développé par Graham.
Motivé par un résultat de Lee, Han-Gursky et Chen-Lai-Wang annoncent que pour une métrique asymptotiquement hyperbolique Einstein, si l'invariant de Yamabe de l'infinie conforme est positif, alors il en est de même pour les invariants de Yamabe-Escobar de la compactification. Dans cette thèse, on s'intéresse à l'inverse. En ajoutant la condition de positivité du volume renormalisé, on montre qu'en dimension 4 la positivité de l'invariant de Yamabe-Escobar implique la positivité de l'invariant de Yamabe de l'infini conforme. Pour cela, on utilise un résultat dû à Anderson qui énonce qu'en dimension 4, le volume renormalisé est relié à l'invariant topologique caractéristique d'Euler à travers de la formule de Gauss-Bonnet-Chern.
Ensuite, on étudie le problème de la régularité. Pour une métrique asymptotiquement hyperbolique Einstein, est-ce que la régularité de l'infini conforme entraîne celle de sa compactification ? D'abord, on étudie la régularité du tenseur de Weyl. Et puis à l'aide tenseur de Bach, on obtient la régularité de la courbure de Ricci. Ceci permet d'obtenir la régularité de la métrique. On se rappelle que le tenseur de Weyl est invariant conforme local. En utilisant l'équation de Bochner satisfaite par le tenseur de Weyl pour une métrique d'Einstein, on se ramène à étudier un opérateur elliptique sur les sections d'un fibré de tenseurs (3,1). Cette étude s'inscrit dans un cadre plus général des opérateurs elliptiques géométriques sur les fibrés géométriques à poids développés par Lee. A l'aide des espaces de Hölder à poids, on trouve des estimations a priori pour ces opérateurs. En construisant une solution approchée régulière pour le tenseur de Weyl par des conditions au bord, on démontre le théorème de régularité sur la métrique compactifiée.
Pedersen définit une famille à un paramètre de métriques d'Einstein asymptotiquement hyperboliques sur la boule de dimension 4 ayant comme l'infini conforme les sphères de Berger. Dans la thèse, on étudie le signe de l'invariant de Yamabe du bord, le signe de celui de Yamabe-Escobar et du volume renormalisé pour ces métriques. Une étude des signes relatifs de ces divers invariants en fonction du paramètre a été motivée à la recherche de la réciproque partielle de la première section. En fait, la conjecture initiale était de montrer que la positivité du volume renormalisé suffit à prouver la positivité de l'invariant de Yamabe de l'infini conforme.
