Etude des ondes périodiques et stationnaires pour l'équation de Schrödinger non linéaire

par Mme Perla Kfoury (Institut de Mathématiques de Toulouse)

vendredi 2 juin 2023, 14:00 → 17:00 Europe/Paris

Amphithéâtre Laurent Schwartz, bâtiment 1R3 (Institut de Mathématiques de Toulouse)

La thèse s'intéresse à l'étude des ondes périodiques et stationnaires pour l'équation de Schrödinger non linéaire unidimensionnelle. La première partie de la thèse se concentre sur la stabilité orbitale des ondes stationnaires pour l'équation de Schrödinger non linéaire à double puissance. Dans cette thèse, nous fournissons une image de stabilité complète pour le problème en utilisant le critère de pente de Grillakis, Shatah et Strauss. Les principaux nouveaux ingrédients de notre approche sont une reformulation de la pente et le calcul explicite de la valeur de la pente dans le cas de la fréquence zéro. Nous avons fourni des expériences numériques pour compléter nos résultats théoriques. Dans la deuxième partie de la thèse, nous étudions les solutions quasi-périodiques pour l'équation de Schrödinger cubique non-linéaire. Nous utilisons une approche variationnelle pour étudier les solutions quasi-périodiques, en minimisant l'énergie à masse et moment fixes en utilisant la méthode du flux de gradient avec normalisation discrète : à chaque pas de temps, nous évoluons dans la direction du gradient de l'énergie et renormalisons la masse et le moment du résultat. Nous établissons un lien entre les minimiseurs de l'énergie et les solutions de l'équation différentielle ordinaire.

 

La dernière partie étend le travail sur le cas cubique à une non-linéarité plus générale et fournit des caractérisations variationnelles pour ce cas. La thèse dans son ensemble, contribue à la compréhension de la dynamique des équations de Schrödinger non linéaires, en mettant l'accent sur l'étude des ondes périodiques et stationnaires. Nous utilisons une combinaison de méthodes analytiques, numériques et variationnelles pour fournir une compréhension plus profonde du comportement des équations et de leurs solutions.