Modélisation et simulation des vésicules biologiques.
Les vésicules sont des structures en suspension auto-organisées formées de molécules possédant une tête hydrophile et une queue hydrophobe.
Ces molécules s'organisent spontanément en double couches, isolant ainsi les queues du milieu aqueux. Elles forment ainsi des structures se comportant comme un fluide bidimensionnel. Elles sont d'une importance essentielle en biologie, car elles constituent la structure de base de toute cellule. Dans cet exposé, nous nous intéressons à la modélisation et simulation de leur comportement mécanique.
Un premier modèle mécanique de telles structures a été proposé de manière indépendante par Canham et Helfrich dans les années 70 et associe à toute vésicule occupant la surface $\Sigma$ l'énergie
$$
\int_\Sigma H^2,
$$
où $H$ désigne la courbure moyenne. Sans stimulation extérieure, les vésicules tendent à minimiser leur énergie mécanique en respectant deux contraintes :
- L'aire de la surface $\Sigma$ est constante (car les molécules dont sont constituées les vésicules sont essentiellement incompressibles)
- Le volume délimité par la vésicule est également constant (fixé par l'équilibre osmotique).
Relativement récemment, nous avons montré par développement asymptotique formel que ce modèle pouvait être obtenu comme limite d'un modèle hyperélastique tridimensionnel. Par la suite Benoît Merlet a apporté une preuve rigoureuse par $\Gamma$-convergence. Ces résultats peuvent être employés pour simuler le comportement mécanique de vésicules. L'utilisation d'un modèle 3d plutôt que 2d peut sembler contre productif, mais il a l'avantage de ne reposer que sur l'emploi de méthodes d'éléments finis standards.
Cependant, le modèle de base proposé par Helfrich et Canham ne rend pas compte de l'ensemble des formes de vésicules observées. Plusieurs variantes ont été proposées pour y pallier. Le plus répandu consiste à introduire une "courbure spontanée". D'autres variantes reposent sur l'introduction d'un terme non local. Nous verrons que des modèles de ce type peuvent également être dérivés de modèles 3d.
Dans cet exposé, nous présenterons le modèle de Helfrich et Canham, les résultats de convergence du modèle 3d vers le modèle 2d, l'implémentation numérique et quelques résultats des simulations."
