Real-time dynamics of vector fields and affine structures on Riemann surfaces

• Julio Rebelo

Room: Salle K. Johnson (1R3-1er étage) In this talk, we will typically consider a homogeneous polynomial vector field $X$ of degree $\ge 2$ on ${\mathbb{C}}^2$. In particular, the time-one map induced by $X$ defines a germ of parabolic diffeomorphism $h$ of $(C^2,0)$. The vector field $X$ also induces a singular affine structure on the Riemann sphere which, in turn, leads to a "geodesic flow", or "billiard dynamics", encoding much of the dynamics of $h$. We will try to make these connections accurate, in particular explaining how the monodromy of the mentioned affine structure can be read off the projective holonomy of the foliation associated with $X$. If time permits, we might say a word about higher dimensional versions of this construction.

Homogeneous vector fields on ${\mathbb{C}}^2$ and meromorphic connections on ${\mathbb{P}}^1(\mathbb{C})$

• Fabrizio Bianchi

Room: Salle K. Johnson (1R3-1er étage) Following the work of Abate, Bracci, and Tovena, I will explain a relation between the real integral curves of a homogeneous vector field on ${\mathbb{C}}^2$ and the geodesics for a suitable meromorphic connection on ${\mathbb{P}}^1(\mathbb{C})$. The result partially generalizes in higher dimensions

Domaines spiralants pour les champs de vecteurs homogènes

• Xavier Buff (Institut de Mathématiques de Toulouse)

Room: Salle K. Johnson (1R3-1er étage) Un domaine parabolique pour un champ de vecteurs homogène dans ${\mathbb{C}}^2$ est un ouvert connexe maximal tel que toute trajectoire en temps réel issu d'un point de cet ouvert converge vers l'origine. On dit que le domaine est spiralant si les trajectoires ne convergent par vers l'origine tangentiellement à une direction complexe (autrement dit, si le projeté de le trajectoire dans ${\mathbb{P}}^1(\mathbb{C})$ ne converge pas vers un point). Nous donnerons des exemples de champs de vecteurs homogène dans ${\mathbb{C}}^2$ admettant une infinité de domaines spiralants.

Surfaces de translation de A à Z

• Elise Goujard

Room: Salle K. Johnson (1R3-1er étage) Dans cet exposé, après avoir présenté les surfaces de translation et leurs espaces de modules, je donnerai un aperçu des questions de géométrie et dynamique que l'on étudie dans ce domaine, celles que l'on sait traiter et celles qui sont encore ouvertes. Concernant l'aspect dynamique, je donnerai quelques motivations, ainsi qu'une idée des techniques et outils utilisés.

Systoles relatives dans des surfaces de translations

• Slavyana Geninska

Room: Salle K. Johnson (1R3-1er étage) Dans une surface de translation la systole relative est la longueur de la plus petite connexion de selle. Dans cette exposé, on va s’intéresser aux maximums globaux et locaux de la fonction Sys sur une strate de surfaces de translation d'aire 1. Ces questions sont aussi en lien avec le nombre maximal de connexions de selle les plus courtes. C'est un travail en commun avec Corentin Boissy.

L'existence des trajectoires périodiques issues d'un point donné sur une surface de translation

• Duc-Manh Nguyen

Room: Salle K. Johnson (1R3-1er étage) Soient $X$ une surface de translation et $p$ un point régulier sur $X$. Dans cet exposé nous nous intéresserons à la question suivante: existe-t-il une (des) trajectoire(s) périodique(s) de $X$ issue(s) de $p$ ? Nous verrons comment la réponse à cette question peut être reliée à l'action de $\mathrm{S}\mathrm{L}(2,\mathbb{R})$ sur l'espace de modules de surfaces de translation. En utilisant des résultats récents d'Eskin-Filip-Wright et d'Apisa, nous sommes en mesure de donner des réponses précises à cette question dans certains cas. Il s'agit d'un travail en commun avec Huiping Pan et Weixu Su.

Parabolic dynamics in dimension 2

• Jasmin Raissy

Room: Salle K. Johnson (1R3-1er étage) In this talk I will give an overview of the known results and of the questions concerning the local dynamics of germs tangent to the identity at a fixed point and how to use them to get information on global dynamics.

Some remarks on non-degenerate characteristic directions

• Lorena Lopez-Hernanz

Room: Salle K. Johnson (1R3-1er étage) Characteristic directions of a tangent to the identity biholomorphism $F$ in ${\mathbb{C}}^n$ are the only possible directions of tangency of an attracting orbit. Écalle and Hakim proved that every characteristic direction which satisfies a non-degeneracy assumption supports a parabolic curve, i.e. a 1-dimensional stable manifold for $F$ with 0 in its boundary; these parabolic curves can be seen as analytic sectorial realizations of a formal invariant object, which can be either a power series or a Dulac series. We will see how one could generalize Hakim's construction to obtain parabolic curves attached to more general formal invariant objects. This is a (very early stage) work in progress in collaboration with José Cano and Sergio Carrillo.

Local dynamics of skew-products tangent to the identity

• Matthieu Astorg

Room: Salle K. Johnson (1R3-1er étage) The results we will present in this talk deal with local dynamics of skew-products $P$ with a (non-degenerate) tangent to the identity fixed point at the origin. We will give an explicit sufficient condition on its coefficients for $P$ to have wandering Fatou components. In particular, we will see that the dynamics of quadratic maps of the form $(z,w)\mapsto (z-z^2,w+w^2+b{z}^2)$ is surprisingly rich: under an explicit arithmetic condition on $b$, these maps have an infinity of grand orbits of wandering Fatou components, all of which admit non-constant limit maps. The main technical result is a parabolic implosion-type theorem, in which the renormalization limits that appear are different from previously known cases. Travail en collaboration avec Luka Boc Thaler

Dynamique des surfaces affines complexes (1)

• Guillaume Tahar

Room: Salle K. Johnson (1R3-1er étage) Une surface affine complexe est une surface réelle munie d'un atlas dont les changements de cartes sont des applications affines (de la forme $f(z)=az+b$). La trace des droites dans le plan complexe sur une telle surface définit un feuilletage sur le fibré unitaire tangent d'une telle surface; l'étude de la dynamique de ce feuilletage sera l'objet d'étude principal de ce mini-cours. Séance 1 (Guillaume Tahar) Définitions, exemples et espaces de modules Séance 2 (Adrien Boulanger) Dynamique du feuilletage géodésique, exemples et restrictions Séance 3 (Selim Ghazouani) Description conjecturale la dynamique du feuilletage d'une surface générique, problèmes ouverts

Dynamique des surfaces affines complexes (2)

• Adrien Boulanger

Room: Salle K. Johnson (1R3-1er étage) Une surface affine complexe est une surface réelle munie d'un atlas dont les changements de cartes sont des applications affines (de la forme $f(z)=az+b$). La trace des droites dans le plan complexe sur une telle surface définit un feuilletage sur le fibré unitaire tangent d'une telle surface; l'étude de la dynamique de ce feuilletage sera l'objet d'étude principal de ce mini-cours. Séance 1 (Guillaume Tahar) Définitions, exemples et espaces de modules Séance 2 (Adrien Boulanger) Dynamique du feuilletage géodésique, exemples et restrictions Séance 3 (Selim Ghazouani) Description conjecturale la dynamique du feuilletage d'une surface générique, problèmes ouverts

Dynamique des surfaces affines complexes (3)

• Selim Ghazouani

Room: Salle K. Johnson (1R3-1er étage) Une surface affine complexe est une surface réelle munie d'un atlas dont les changements de cartes sont des applications affines (de la forme $f(z)=az+b$). La trace des droites dans le plan complexe sur une telle surface définit un feuilletage sur le fibré unitaire tangent d'une telle surface; l'étude de la dynamique de ce feuilletage sera l'objet d'étude principal de ce mini-cours. Séance 1 (Guillaume Tahar) Définitions, exemples et espaces de modules Séance 2 (Adrien Boulanger) Dynamique du feuilletage géodésique, exemples et restrictions Séance 3 (Selim Ghazouani) Description conjecturale la dynamique du feuilletage d'une surface générique, problèmes ouverts