L'objectif de cette thèse est double. D'une part, les méthodes de transport optimal sont étudiées pour l'inférence statistique. D'autre part, le récent problème de l'apprentissage équitable est considéré avec des contributions à travers le prisme de la théorie du transport optimal. L'utilisation généralisée des applications basées sur les modèles d'apprentissage automatique dans la vie quotidienne et le monde professionnel s'est accompagnée de préoccupations quant aux questions éthiques qui peuvent découler de l'adoption de ces technologies. Dans la première partie de cette thèse, nous motivons le problème de l'équité en présentant quelques résultats statistiques complets en étudiant le critère statistical parity par l'analyse de l'indice disparate impact sur l'ensemble de données réel Adult income. Il est important de noter que nous montrons qu'il peut être particulièrement difficile de créer des modèles d'apprentissage machine équitables, surtout lorsque les observations de formation contiennent des biais. Ensuite, une revue des mathématiques pour l'équité dans l'apprentissage machine est donné dans un cadre général, avec également quelques contributions nouvelles dans l'analyse du prix pour l'équité dans la régression et la classification. Dans cette dernière, nous terminons cette première partie en reformulant les liens entre l'équité et la prévisibilité en termes de mesures de probabilité. Nous analysons les méthodes de réparation basées sur le transport de distributions conditionnelles vers le barycentre de Wasserstein. Enfin, nous proposons le random repair qui permet de trouver un compromis entre une perte minimale d'information et un certain degré d'équité. La deuxième partie est dédiée à la théorie asymptotique du coût de transport empirique. Nous fournissons un Théorème de Limite Centrale pour la distance de Monge-Kantorovich entre deux distributions empiriques de tailles différentes n et m, Wp(Pn,Qm), p > = 1, avec observations sur R. Dans le cas de p > 1, nos hypothèses sont nettes en termes de moments et de régularité. Nous prouvons des résultats portant sur le choix des constantes de centrage. Nous fournissons une estimation consistente de la variance asymptotique qui permet de construire tests à deux échantillons et des intervalles de confiance pour certifier la similarité entre deux distributions. Ceux-ci sont ensuite utilisés pour évaluer un nouveau critère d'équité de l'ensemble des données dans la classification. En outre, nous fournissons un principe de déviations modérées pour le coût de transport empirique dans la dimension générale. Enfin, les barycentres de Wasserstein et le critère de variance en termes de la distance de Wasserstein sont utilisés dans de nombreux problèmes pour analyser l'homogénéité des ensembles de distributions et les relations structurelles entre les observations. Nous proposons l'estimation des quantiles du processus empirique de la variation de Wasserstein en utilisant une procédure bootstrap. Ensuite, nous utilisons ces résultats pour l'inférence statistique sur un modèle d'enregistrement de distribution avec des fonctions de déformation générale. Les tests sont basés sur la variance des distributions par rapport à leurs barycentres de Wasserstein pour lesquels nous prouvons les théorèmes de limite centrale, y compris les versions bootstrap.
