Une réponse complète au problème de la densité forte pour les espaces de Sobolev à valeurs dans une variété
par
Antoine Detaille
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Europe/Paris
Fokko Du Cloux (Bâtiment Braconnier, La Doua)
Fokko Du Cloux
Bâtiment Braconnier, La Doua
Description
Un résultat classique en théorie des espaces de Sobolev à valeurs réelles affirme que les fonctions lisses sont denses dans W^{s,p}(Omega) pour tous 0 < s < +infini et 1 <= p < +infini. En revanche, lorsqu’on considère des espaces de Sobolev à valeurs dans une variété, la question devient bien plus délicate. En effet, des obstructions de nature topologique surgissent en présence de la contrainte variété et font obstacle à l’approximation par des fonctions lisses. Dans cet exposé, je commencerai par énoncer précisément le problème de la densité forte dans les espaces de Sobolev à valeurs dans une variété. J’expliquerai ensuite le mécanisme régissant les obstructions à l’approximation, menant à une condition nécessaire purement topologique sur la variété cible pour permettre la densité des fonctions lisses. Il s’avère que cette condition est également suffisante pour garantir la densité. Sans entrer dans les détails techniques, je tenterai de présenter la boîte à outils permettant de donner une preuve unifiée de ce résultat pour toutes valeurs du paramètre de régularité s, en me concentrant sur le principe de base et l’intuition du fonctionnement de chaque outil.
