Les variétés de Shimura sont des objets centraux de la géométrie arithmétique. Du point de vue de la géométrie analytique complexe elles apparaissent comme des quotients d'espaces symétriques hermitiens par des réseaux arithmétiques. L'exemple clef est l'espace de modules Ag des variétés abéliennes principalement polarisées de dimension g qui est une généralisation de la courbe modulaire. Les variétés de Shimura sont munis d'un ensemble très riche de points spéciaux et de sous-variétés spéciales de dimension positive qui s'interprètent soit comme sous-espaces localement symétriques hermitiens, soit comme le lieu de l'espace de modules paramétrant des objets ayant des symétries supplémentaires soit du point de vue de la géométrie Riemannienne comme les sous-variétés totalement géodésiques. Nous développerons systématiquement dans le cours l'idée que les sous-variétés spéciales sont aussi les variétés "bi-algébriques" dont l'image inverse dans le revêtement universel est algébrique en un sens que l'on précisera. Pour les points spéciaux il s'agit d'une généralisation du fait classique concernant la courbe modulaire que si z dans le demi plan de Poincaré à la propriété que z et j(z) sont algébriques alors z est quadratique imaginaire.
Une conséquence simple des définitions est que les points spéciaux sont denses dans les sous-variétés spéciales. Yves André (1989) motivé par des questions de transcendance et Frans Oort (1995) intéressé par des propriétés du lieu jacobien dans Ag ont conjecturé que cette propriété caractérisait les sous-variétés spéciales. La conjecture d'André-Oort est aussi un analogue hyperbolique de la conjecture de Manin-Mumford pour les variétés abéliennes démontrée par Raynaud.
Une intense activité autour de la conjecture a eu lieu depuis lors. Une première série de travaux initiée par Edixhoven a abouti à une preuve de la conjecture sous l'hypothèse de Riemann généralisée par Klingler, Yafaev et moi-même. Plus récemment une méthode initiée par Pila et Zannier mélangeant des idées d'o-minimalité, de transcendance fonctionnelle et de théorie de Galois ont abouti, grâce aux efforts de nombreux auteurs, à une preuve inconditionnelle de la conjecture d'André-Oort pour Ag . Le cours fera le point sur les différents ingrédients qui interviennent dans cette preuve.
