L’analogue en dimension supérieure du théorème d’uniformisation de Riemann peut se formuler selon Calabi comme la recherche de métriques de Kähler-Einstein sur une variété compacte kählérienne. Trouver une telle métrique se ramène à résoudre une équation de type Monge-Ampère complexe. Si la variété est non-Fano, Yau et Aubin ont démontré l’existence de solutions lisses par la méthode de continuité et les estimées a priori. Par contre, une variété de Fano n’admet pas toujours de métriques de Kähler-Einstein. La conjecture de Yau-Tian-Donaldson caractérise l’obstruction à l’existence dans le cas Fano par une condition algébro-géométrique de K-stabilité au sens de la théorie géométrique des invariants. Je donnerai des détails sur la solution de Yau-Aubin, ainsi qu’une formulation de la conjecture.
Dans la seconde partie, je présenterai une condition nécessaire et suffisante, équivalente à la K-stabilité et vérifiable en pratique, pour l’existence de métriques kählériennes Ricci-plates sur une classe de variétés algébriques affines Q-Gorenstein. Cela fournit plusieurs nouveaux exemples de cônes irréguliers.
