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v3.2.9
Chacun·e d'entre vous sait qu'un polynôme complexe de degré d a génériquement d racines distinctes. Ainsi la topologie de l'ensemble des zéros d'un polynôme complexe est génériquement déterminé par son degré. Que se passe-t-il dans le cas réel ? En degré 2 les choses sont déjà plus riche. Il y a deux comportements dominants : deux racines ou bien aucune ... Que peut-on dire en dimensions supérieures ? Pour les courbes ou les surfaces algébriques par exemple. Et bien dans le cas complexe les choses restent stables quand la dimension augmente : la topologie d'une hypersurface est toujours génériquement par son degré, deux hypersurfaces génériques de même degré sont isotopes. Quant à lui, le cas réel se complique d'avantage. Les nombres de Betti sont l'outil de prédilection de la Topologie Algébrique pour estimer la richesse de la topologie d'un espace. Ainsi, il est très naturel de vouloir calculer les nombres de Betti des hypersurfaces algébriques réelles. Cependant, décrire l'ensemble des combinaisons de nombres de Betti possibles pour une hypersurface d'un degré donné est une tâche ardue. Il est alors naturel de se demander plutôt comment ces nombres se comportent en moyenne. C'est l'une des questions posées par la géométrie algébrique réelle aléatoire.
Après avoir introduit le contexte et présenté quelques questions posées en géométrie algébrique réelle, je discuterai des différences majeures entre la géométrie complexe et la géométrie réelle et de d'en quoi l'approche aléatoire est naturelle. Ensuite je présenterai des résultats connus de géométrie algébrique réelle aléatoire et présenterai quelques-uns de mes travaux.