Théorie des paires orbifoldes de F. Campana 1

• Benoît Claudon (Université de Lorraine)

L’utilisation d’un diviseur auxiliaire, appelé bord, ou frontière, en géométrie birationnelle s’est révélée extrêmement fructueuse en permettant des récurrences sur la dimension et en aboutissant à la preuve de l’existence des modèles minimaux. Ce formalisme des paires possède toutefois de nombreuses limitations, car se focalise particulièrement sur le fibré canonique. La théorie des paires orbifoldes, introduite par F. Campana pour notamment prendre en compte les fibres multiples en codimension 1 des fibrations, permet de définir la notion de fibré tangent, fibré cotangent et plus généralement celle de tenseur holomorphe. F. Campana et M. Păun ont pu démontrer une version orbifolde du théorème de semi-positivité générique de Miyaoka [1]. Ils en déduisent un énoncé conjecturé par Viehweg sur le lien entre la positivité des puissances tensorielles du fibré cotangent logarithmique et celle du log-diviseur canonique. Cela implique en retour la conjecture d’hyperbolicité de Shafarevich sur les familles de variétés projectives canoniquement polarisées. Après un introduction à la théorie des paires orbifoldes, nous verrons comment obtenir la version orbifolde du théorème de semi-positivité générique de Miyaoka et ses conséquences. Référence : 1. F. Campana, M. Păun, ”Orbifold generic semi-positivity : an application to families of canonically polarized manifolds ”, arXiv :1303.3169.

Le cône Kählerien d'une variété kählerienne 1

• Ekaterina Amerik (Université Paris Sud - Orsay)

Je vais parler du progrès recent concernant le cone de Kähler d’une variété holomor- phiquement symplectique irreductible, et notamment de la démonstration de la conjecture de Morrison-Kawamata pour ces variétés. (Travaux en commun avec Verbitsky.)

Surfaces K3 sur les corps finis 1

• François Charles (Université Paris Sud - Orsay)

Le but du cours sera de décrire quelques progrès récents sur la géométrie des surfaces K3 sur les corps finis. On donnera une preuve de la conjecture de Tate, qui décrit les classes de diviseurs sur une telle surface, et on décrira plus en détail la géométrie de certaines surfaces dites supersingulières, d’après Lieblich et Liedtke. Lors des exposés, l’accent sera mis sur l’influence de la géométrie complexe dans les preuves : variétés hyperkähleriennes, espaces de twisteurs, etc.

A Reider-type theorem for higher syzygies on abelian surfaces

• Victor Lozovanu (Université de Milan)

In this talk I would like to present a joint work with Alex Küronya about syzygies of ample line bundles on abelian surfaces. We study criteria for property $N_p$ , introduced in the 80’s by Green and Lazarsfeld, in terms of non-existence on the surface of elliptic curves of small degree. The main focus of the talk is to present the main ideas of how one can tackle such a problem, in which euclidean and convex geometry of Newton-Okounkov polygons play an essential role. This is is due to the fact that first one can use these convex sets to describe the local positivity properties of the line bundle and second to find effective divisors with prescribed singularities.

Enumeration of curves via non-archimedean geometry

• Tony Yue Yu (Université Paris 7)

I will begin by explaining motivations from mirror symmetry. Then I will present some new results concerning non-archimedean geometry. As an application, I will talk about the enumeration of curves in log Calabi-Yau surfaces. This gives rise to new geometric invariants inaccessible by classical methods. An explicit example for a del Pezzo surface will be presented, which verifies the conjectured wall-crossing formula.

Non-symplectic automorphisms of fourfolds of K3^[2]-type

• Chiara Camere (Université de Milan)

In this talk I will first explain the classification of non-symplectic automorphisms of prime order of fourfolds of $K3^{[2]}$-type and review some examples. In the second part of the talk I will discuss complex ball quotients arising as moduli spaces of pairs of a fourfold of $K3^{[2]}$-type and a non-symplectic automorphism of prime order. This is joint work with S. Boissière and A. Sarti.

Positivity of Quantum K-theory for grassmannians

• Nicolas Perrin (Université de Versailles)

This is a joint work with A. Buch, P.-E. Chaput and L. Mihalcea. In this talk I shall explain that rational connectedness results as well as a good control on the singularities of some subvarieties of the variety of rational curves lying on a grassmannian (and some other rational homogeneous spaces) imply positivity results in quantum K-theory.

Le cône Kählerien d'une variété kählerienne 2

• Ekaterina Amerik (Université Paris Sud - Orsay)

Je vais parler du progrès recent concernant le cone de Kähler d’une variété holomor- phiquement symplectique irreductible, et notamment de la démonstration de la conjecture de Morrison-Kawamata pour ces variétés. (Travaux en commun avec Verbitsky.)

Théorie des paires orbifoldes de F. Campana 2

• Benoît Claudon (Université de Lorraine)

L’utilisation d’un diviseur auxiliaire, appelé bord, ou frontière, en géométrie birationnelle s’est révélée extrêmement fructueuse en permettant des récurrences sur la dimension et en aboutissant à la preuve de l’existence des modèles minimaux. Ce formalisme des paires possède toutefois de nombreuses limitations, car se focalise particulièrement sur le fibré canonique. La théorie des paires orbifoldes, introduite par F. Campana pour notamment prendre en compte les fibres multiples en codimension 1 des fibrations, permet de définir la notion de fibré tangent, fibré cotangent et plus généralement celle de tenseur holomorphe. F. Campana et M. Păun ont pu démontrer une version orbifolde du théorème de semi-positivité générique de Miyaoka [1]. Ils en déduisent un énoncé conjecturé par Viehweg sur le lien entre la positivité des puissances tensorielles du fibré cotangent logarithmique et celle du log-diviseur canonique. Cela implique en retour la conjecture d’hyperbolicité de Shafarevich sur les familles de variétés projectives canoniquement polarisées. Après un introduction à la théorie des paires orbifoldes, nous verrons comment obtenir la version orbifolde du théorème de semi-positivité générique de Miyaoka et ses conséquences. Référence : 1. F. Campana, M. Păun, ”Orbifold generic semi-positivity : an application to families of canonically polarized manifolds ”, arXiv :1303.3169.

Stability and applications to birational and hyperkaehler geometry 1

• Arend Bayer (University of Edinburgh)

This lecture series will be an introduction to stability conditions on derived categories, wall-crossing, and its applications to birational geometry of moduli spaces of sheaves. I will assume a passing familiarity with derived categories. — Introduction to stability conditions. I will start with a gentle review of aspects of derived categories. Then an informal introduction to Bridgeland’s notion of stability conditions on derived categories [2, 5, 6]. I will then proceed to explain the concept of wall-crossing, both in theory, and in examples [1, 2, 4, 6]. — Wall-crossing and birational geometry. Every moduli space of Bridgeland-stable objects comes equipped with a canonically defined nef line bundle. This systematically explains the connection between wall-crossing and birational geometry of moduli spaces. I will explain and illustrate the underlying construction [7]. — Applications : Moduli spaces of sheaves on K3 surfaces. I will explain how one can use the theory explained in the previous talk in order to systematically study the birational geometry of moduli spaces of sheaves, focussing on K3 surfaces [1, 8]. References : 1. D. Arcara, A. Bertram, I. Coskun, J. Huizenga, ”The minimal model program for the Hilbert scheme of points on P 2 and Bridgeland stability”, Adv. Math., 235 :580-626, 2013. (arXiv :math/1203.0316) ; 2. T. Bridgeland, ”Stability condition on triangulated categories”, Annals of Math. 166 no. 2, 317-345 (2007) (arXiv :math/0212237) ; 3. T. Bridgeland, ”Spaces of stability conditions”, Algebraic geometry-Seattle 2005. Part 1, 1-21, Proc. Sympos. Pure Math., 80, AMS. (arXiv :math/0611510) ; 4. T. Bridgeland, ”Stability conditions on K3 surfaces”, Duke Math. J. 141, no. 2, 241-291 (2008) (arXiv :math/0307164) ; 5. A. Caldararu, ”Derived categories of sheaves : a skimming”, In Snowbird lectures in alge- braic geometry, volume 388 of Contemp. Math., pages 43-75. AMS (arXiv :math/0501094) ; 6. A. Bayer, ”A tour to stability conditions on derived categories”, Informal notes available on my homepage ; 7. A. Bayer, E. Macri, ”Projectivity and birational geometry of Bridgeland moduli spaces”, (arXiv :1203.4613) ; 8. A. Bayer, E. Macri, ”MMP for moduli of sheaves on K3s via wall-crossing : nef and movable cones, Lagrangian fibrations”.

Exposés Courts

Cohomological Hall modules and Donaldson-Thomas theory with classical structure groups

• Matt Young (Texas University)

Given a complex reductive group $G$, there is expected to be a generalization of Donaldson-Thomas theory whose goal is to count, in an appropriate sense, stable principal $G$-bundles over a Calabi-Yau threefold. The standard Donaldson-Thomas theory arises when $G$ is a general linear group. I will present some recent results on such a generalization when $G$ is a classical group using the framework of quiver representations. The key new tool is a representation of Kontsevich and Soibelman's cohomological Hall algebra which is constructed from the cohomology of moduli stacks of quiver theoretic analogues of $G$-bundles. Conjecturally, the desired $G$-Donaldson-Thomas invariants are encoded in degrees of the generators of this representation. I will describe a number of situations where this conjecture has been confirmed.

The Lang-Vojta conjecture and arithmetic finiteness results for smooth hypersurfaces

• Ariyan Javanpeykar (Mainz Universität)

In 1983, Faltings proved the arithmetic Shafarevich conjecture for curves: for a finite set S of finite places of a number field K and an integer g>1, the set of isomorphism classes of curves of genus g over K with good reduction outside S is finite. The aim of this talk is to explain that Faltings's finiteness theorem for curves fits in well with the Lang-Vojta conjecture. Moreover, we shall consider analogues of Faltings's finiteness theorems for hypersurfaces. We will prove, assuming the conjecture of Lang-Vojta, the analogous finiteness statement for smooth hypersurfaces of fixed degree and fixed dimension by constructing a moduli space for "hypersurfaces with level structure". Unconditionally, we prove the Shafarevich conjecture for hypersurfaces of Hodge level at most one, and some hypersurfaces of Hodge level 2. This is joint work with Daniel Loughran.

Surfaces K3 sur les corps finis 2

• François Charles (Université Paris Sud - Orsay)

Le but du cours sera de décrire quelques progrès récents sur la géométrie des surfaces K3 sur les corps finis. On donnera une preuve de la conjecture de Tate, qui décrit les classes de diviseurs sur une telle surface, et on décrira plus en détail la géométrie de certaines surfaces dites supersingulières, d’après Lieblich et Liedtke. Lors des exposés, l’accent sera mis sur l’influence de la géométrie complexe dans les preuves : variétés hyperkähleriennes, espaces de twisteurs, etc.

Stability and applications to birational and hyperkaehler geometry 2

• Arend BAYER (University of Edinburgh)

This lecture series will be an introduction to stability conditions on derived categories, wall-crossing, and its applications to birational geometry of moduli spaces of sheaves. I will assume a passing familiarity with derived categories. — Introduction to stability conditions. I will start with a gentle review of aspects of derived categories. Then an informal introduction to Bridgeland’s notion of stability conditions on derived categories [2, 5, 6]. I will then proceed to explain the concept of wall-crossing, both in theory, and in examples [1, 2, 4, 6]. — Wall-crossing and birational geometry. Every moduli space of Bridgeland-stable objects comes equipped with a canonically defined nef line bundle. This systematically explains the connection between wall-crossing and birational geometry of moduli spaces. I will explain and illustrate the underlying construction [7]. — Applications : Moduli spaces of sheaves on K3 surfaces. I will explain how one can use the theory explained in the previous talk in order to systematically study the birational geometry of moduli spaces of sheaves, focussing on K3 surfaces [1, 8]. References : 1. D. Arcara, A. Bertram, I. Coskun, J. Huizenga, ”The minimal model program for the Hilbert scheme of points on P 2 and Bridgeland stability”, Adv. Math., 235 :580-626, 2013. (arXiv :math/1203.0316) ; 2. T. Bridgeland, ”Stability condition on triangulated categories”, Annals of Math. 166 no. 2, 317-345 (2007) (arXiv :math/0212237) ; 3. T. Bridgeland, ”Spaces of stability conditions”, Algebraic geometry-Seattle 2005. Part 1, 1-21, Proc. Sympos. Pure Math., 80, AMS. (arXiv :math/0611510) ; 4. T. Bridgeland, ”Stability conditions on K3 surfaces”, Duke Math. J. 141, no. 2, 241-291 (2008) (arXiv :math/0307164) ; 5. A. Caldararu, ”Derived categories of sheaves : a skimming”, In Snowbird lectures in alge- braic geometry, volume 388 of Contemp. Math., pages 43-75. AMS (arXiv :math/0501094) ; 6. A. Bayer, ”A tour to stability conditions on derived categories”, Informal notes available on my homepage ; 7. A. Bayer, E. Macri, ”Projectivity and birational geometry of Bridgeland moduli spaces”, (arXiv :1203.4613) ; 8. A. Bayer, E. Macri, ”MMP for moduli of sheaves on K3s via wall-crossing : nef and movable cones, Lagrangian fibrations”.

K-stabilité et géométrie kählérienne 1

• Sébastien Boucksom (Université Paris 6)

Ce mini-cours est une introduction à la conjecture de Yau-Tian-Donaldson, selon laquelle la K-stabilité d'une variété polarisée (X,L) équivaut à l'existence d'une métrique kählérienne à courbure scalaire constante dans la première classe de Chern de L. Je m'efforcerai de montrer en quoi la notion algebro-géométrique de K-stabilité, qui apparaît comme une version "limite" de la stabilité au sens de la théorie géométrique des invariants, présente un intérêt en géométrie algébrique au-delà de cette conjecture.

Stability and applications to birational and hyperkaehler geometry 3

• Arend Bayer (University of Edinburgh)

This lecture series will be an introduction to stability conditions on derived categories, wall-crossing, and its applications to birational geometry of moduli spaces of sheaves. I will assume a passing familiarity with derived categories. — Introduction to stability conditions. I will start with a gentle review of aspects of derived categories. Then an informal introduction to Bridgeland’s notion of stability conditions on derived categories [2, 5, 6]. I will then proceed to explain the concept of wall-crossing, both in theory, and in examples [1, 2, 4, 6]. — Wall-crossing and birational geometry. Every moduli space of Bridgeland-stable objects comes equipped with a canonically defined nef line bundle. This systematically explains the connection between wall-crossing and birational geometry of moduli spaces. I will explain and illustrate the underlying construction [7]. — Applications : Moduli spaces of sheaves on K3 surfaces. I will explain how one can use the theory explained in the previous talk in order to systematically study the birational geometry of moduli spaces of sheaves, focussing on K3 surfaces [1, 8]. References : 1. D. Arcara, A. Bertram, I. Coskun, J. Huizenga, ”The minimal model program for the Hilbert scheme of points on P 2 and Bridgeland stability”, Adv. Math., 235 :580-626, 2013. (arXiv :math/1203.0316) ; 2. T. Bridgeland, ”Stability condition on triangulated categories”, Annals of Math. 166 no. 2, 317-345 (2007) (arXiv :math/0212237) ; 3. T. Bridgeland, ”Spaces of stability conditions”, Algebraic geometry-Seattle 2005. Part 1, 1-21, Proc. Sympos. Pure Math., 80, AMS. (arXiv :math/0611510) ; 4. T. Bridgeland, ”Stability conditions on K3 surfaces”, Duke Math. J. 141, no. 2, 241-291 (2008) (arXiv :math/0307164) ; 5. A. Caldararu, ”Derived categories of sheaves : a skimming”, In Snowbird lectures in alge- braic geometry, volume 388 of Contemp. Math., pages 43-75. AMS (arXiv :math/0501094) ; 6. A. Bayer, ”A tour to stability conditions on derived categories”, Informal notes available on my homepage ; 7. A. Bayer, E. Macri, ”Projectivity and birational geometry of Bridgeland moduli spaces”, (arXiv :1203.4613) ; 8. A. Bayer, E. Macri, ”MMP for moduli of sheaves on K3s via wall-crossing : nef and movable cones, Lagrangian fibrations”.

K-stabilité et géométrie kählérienne 2

• Sébastien Boucksom (Université Paris 6)

Ce mini-cours est une introduction à la conjecture de Yau-Tian-Donaldson, selon laquelle la K-stabilité d'une variété polarisée (X,L) équivaut à l'existence d'une métrique kählérienne à courbure scalaire constante dans la première classe de Chern de L. Je m'efforcerai de montrer en quoi la notion algebro-géométrique de K-stabilité, qui apparaît comme une version "limite" de la stabilité au sens de la théorie géométrique des invariants, présente un intérêt en géométrie algébrique au-delà de cette conjecture.

Le cône Kählerien d'une variété kählerienne 3

• Ekaterina Amerik (Université Paris Sud - Orsay)

Je vais parler du progrès recent concernant le cone de Kähler d’une variété holomor- phiquement symplectique irreductible, et notamment de la démonstration de la conjecture de Morrison-Kawamata pour ces variétés. (Travaux en commun avec Verbitsky.)

Mirror Symmetry for singularities

• Jérémy Guéré (Université Paris 6)

In 2007, Fan, Jarvis, and Ruan constructed an analogue of the Gromov-Witten (GW) theory of hypersurfaces in weighted projective spaces. The new theory is attached to quasi-homogeneous polynomial singularities and is usually called Fan-Jarvis-Ruan-Witten theory (FJRW). It is part of the general picture of Witten, where GW and FJRW theories arise as two distinct GIT quotients of the same model. I will first explain this idea under the light of mirror symmetry. Then I will present FJRW theory and the geometric problem it illustrates. In particular, I will highlight a geometric property called concavity. For now, it is a necessary condition for explicit results on GW theory of hypersurfaces. But on the FJRW side, the situation has recently changed and I will describe my method based on Koszul cohomology to overcome this difficulty. As a consequence, I obtain a mirror symmetry theorem without concavity.

Métriques de Kähler-Einstein sur les compactifications de groupes

• Thibault Delcroix (Université de Grenoble)

Wang et Zhu ont caractérisé l’existence de métriques de Kähler-Einstein sur les variétés toriques Fano en termes du barycentre du polytope associé. L’objectif de cet exposé est de présenter un résultat similaire pour les compactifications $G\times G$-équivariantes Fano d’un groupe réductif $G$. Je présenterai le polytope moment associé à une telle variété et comment le barycentre de ce polytope par rapport à la mesure de Duistermaat-Heckman est lié à l’existence de métriques de Kähler-Einstein. La condition nécessaire et suffisante d’existence de métriques de Kähler-Einstein ainsi obtenue est vérifiable en pratique et donne de nouveaux exemples de variétés de Kähler-Einstein Fano (par exemple la compactification magnifique du groupe semisimple adjoint $PSL(3, \mathbb{C}))$.

Variétés dont la cohomologie est celle d'un tore

• Olivier Debarre (ENS Paris)

Fabrizio Catanese a remarqué qu’une variété compacte kählérienne dont la cohomo- logie singulière entiére est celle d’un tore complexe est en fait isomorphe à un tore. Avec Zhi Jiang, Martí Lahoz et William Sawin, nous montrons que ce n’est plus nécessairement le cas si on remplace les coefficients entiers par des coefficients rationnels. De façon plus générale, nous étudions la structure des variétés compactes kählériennes dont la cohomologie singulière entière est celle d’un tore complexe et construisons de nombreux exemples.

K-stabilité et géométrie kählérienne 3

• Sébastien Boucksom (Université Paris 6)

Ce mini-cours est une introduction à la conjecture de Yau-Tian-Donaldson, selon laquelle la K-stabilité d'une variété polarisée (X,L) équivaut à l'existence d'une métrique kählérienne à courbure scalaire constante dans la première classe de Chern de L. Je m'efforcerai de montrer en quoi la notion algebro-géométrique de K-stabilité, qui apparaît comme une version "limite" de la stabilité au sens de la théorie géométrique des invariants, présente un intérêt en géométrie algébrique au-delà de cette conjecture.

Surfaces K3 sur les corps finis 3

• François Charles (Université Paris Sud - Orsay)

Le but du cours sera de décrire quelques progrès récents sur la géométrie des surfaces K3 sur les corps finis. On donnera une preuve de la conjecture de Tate, qui décrit les classes de diviseurs sur une telle surface, et on décrira plus en détail la géométrie de certaines surfaces dites supersingulières, d’après Lieblich et Liedtke. Lors des exposés, l’accent sera mis sur l’influence de la géométrie complexe dans les preuves : variétés hyperkähleriennes, espaces de twisteurs, etc.

Théorie des paires orbifoldes de F. Campana 3

• Benoît Claudon (Université de Lorraine)

L’utilisation d’un diviseur auxiliaire, appelé bord, ou frontière, en géométrie birationnelle s’est révélée extrêmement fructueuse en permettant des récurrences sur la dimension et en aboutissant à la preuve de l’existence des modèles minimaux. Ce formalisme des paires possède toutefois de nombreuses limitations, car se focalise particulièrement sur le fibré canonique. La théorie des paires orbifoldes, introduite par F. Campana pour notamment prendre en compte les fibres multiples en codimension 1 des fibrations, permet de définir la notion de fibré tangent, fibré cotangent et plus généralement celle de tenseur holomorphe. F. Campana et M. Păun ont pu démontrer une version orbifolde du théorème de semi-positivité générique de Miyaoka [1]. Ils en déduisent un énoncé conjecturé par Viehweg sur le lien entre la positivité des puissances tensorielles du fibré cotangent logarithmique et celle du log-diviseur canonique. Cela implique en retour la conjecture d’hyperbolicité de Shafarevich sur les familles de variétés projectives canoniquement polarisées. Après un introduction à la théorie des paires orbifoldes, nous verrons comment obtenir la version orbifolde du théorème de semi-positivité générique de Miyaoka et ses conséquences. Référence : 1. F. Campana, M. Păun, ”Orbifold generic semi-positivity : an application to families of canonically polarized manifolds ”, arXiv :1303.3169.