La validité des relations de Hodge-Riemann et du théorème de Lefschetz « vache » pour une cohomologie de Weil quelconque sont parmi les problèmes les plus difficiles en géométrie algébrique, et font partie des célèbres conjectures standard.
Gillet et Soulé ont conjecturé que des propriétés analogues devrait être valides pour l'anneau de Chow arithmétique d'une variété définie sur les entiers.
Dans cet exposé, basé sur un travail en commun avec Paolo Dolce et Roberto Gualdi, j'expliquerai notre stratégie pour montrer une version forte de ces conjectures pour les Grassmanniennes arithmétiques, en généralisant les travaux de Künnemann, Maillot, Takeda, Kresch et Tamvakis.
Un point crucial de cette stratégie est une nouvelle description explicite de l'anneau de Chow d'Arakelov de ces Grassmanniennes arithmétiques.
