Dans son article Über elektrostatische Gitterpotentiale, publié en 1921, Max Born posa la question suivante à propos des cristaux ioniques : Comment peut-on distribuer des charges positives et négatives sur un réseau cubique simple de telle sorte que l’énergie électrostatique du système soit minimal ? Il conjectura qu’une distribution alternée de charges +1 et -1 devrait être la structure ionique optimale.
Dans cet exposé, j’expliquerai le lien entre les fonctions thêtas des réseaux et la distribution optimale de charges sur un réseau fixé, quand l’énergie d’interaction est complètement monotone. Je montrerai ensuite comment, en collaboration avec Hans Knüpfer (Université de Heidelberg) nous avons démontré la conjecture de Born ainsi que ses généralisations pour certains types de réseaux. De plus, un résultat de polarisation 2d concernant le maximum parmi les réseaux du minimum parmi les distributions de charges, obtenu récemment avec Markus Faulhuber (Université de Vienne) et Stefan Steinerberger (Université de Washington), et donnant une nouvelle caractérisation du réseau triangulaire, sera présenté. Les techniques utilisées pour démontrer cette conjecture vont de l’Analyse de Fourier à la formule sommatoire d’Ewald en passant par les propriétés des fonctions thêtas.
