Journées mathématiques X-UPS

9 mai 2016, 10:00 → 10 mai 2016, 16:00 Europe/Paris

Amphithéâtre Becquerel (École polytechnique)

Arbres et marches aléatoires
Journées mathématiques X-UPS 2016

Conférenciers

• Vincent Beffara, CNRS, Institut Fourier (Grenoble)
• Igor Kortchemski, CNRS, École polytechnique (Palaiseau)
• Grégory Miermont, ENSL (Lyon)

Organisateurs scientifiques

• Pascale Harinck
• Alain Plagne
• Claude Sabbah

 

Les journées mathématiques X-UPS sont un stage de formation organisé par le Centre de mathématiques Laurent Schwartz de l'École polytechnique à l'intention des professeurs des classes préparatoires aux grandes écoles scientifiques.
Elles se tiennent tous les ans au printemps. L'inscription est gratuite mais obligatoire.
L'objectif est double : d'une part satisfaire l'intérêt des professeurs pour l'actualité de la recherche en mathématiques et en informatique, d'autre part leur apporter des connaissances utilisables dans leur enseignement.
Le stage comporte six ou sept conférences éventuellement accompagnées de démonstrations ou de travaux pratiques sur ordinateur. Nous souhaitons une participation active des stagiaires sous forme de discussion et questions aux conférenciers.

lundi 9 mai

10:00 Café d'accueil

1 Arbres et marches aléatoires (1)

Nous nous intéresserons à de grands arbres aléatoires qui décrivent la généalogie d'une population se reproduisant de manière asexuée. Ce modèle a été introduit à la fin du 19ème siècle par Bienaymé et Galton & Watson pour prédire l'extinction des noms nobles en Angleterre. Nous étudierons la géométrie de ces arbres en les codant par des marches aléatoires conditionnées, que nous analyserons à leur tour en utilisant des arguments combinatoires et analytiques.

Orateur: Igor Kortchemski (CNRS, École polytechnique)

Texte des exposés (pdf) http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups16-01.pdf

12:00 Discussion - Pause

12:30 Déjeuner

2 Probabilités sur le graphe complet : les exemples de l'arbre couvrant uniforme et minimal (1)

À quoi ressemble un grand arbre choisi au hasard ? Cette question n'a évidemment de sens que si l'on spécifie la loi d'un tel objet, c'est-à-dire la façon dont on le choisit au hasard. Une des façons les plus naturelles est de choisir un tel arbre uniformément parmi tous les arbres sur un ensemble de n sommets, ou bien de le choisir de façon à minimiser une fonction de poids aléatoire définie sur les n(n-1)/2 arêtes joignant ces n sommets. L'étude de la géométrie de ces objets aléatoires est rendue possible par l'utilisation d'algorithmes simples permettant de les engendrer, et sera l'occasion de rencontres inattendues avec le fameux « paradoxe des anniversaires », le mouvement brownien, et ζ(3) !

Orateur: Grégory Miermont (ENSL)

Texte des exposés (pdf) http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups16-02.pdf

15:00 Discussion - Pause

3 Probabilités sur le graphe complet : les exemples de l'arbre couvrant uniforme et minimal (2)

Orateur: Grégory Miermont (ENSL)

mardi 10 mai

4 Arbres et marches aléatoires (2)

Orateur: Igor Kortchemski (CNRS, École polytechnique)

10:30 Discussion - Pause

5 La marche auto-évitante (1)

Une marche auto-évitante de longueur n sur le réseau Z^d est un chemin de n pas, issu de l’origine, et qui ne passe jamais deux fois par le même site. Il est facile de voir par un argument de sous-additivité que le nombre C_n,d de tels chemins se comporte comme cⁿ pour un certain c∈[d,2d], mais il est extrêmement difficile d’en savoir plus sur ces objets, et essentiellement toutes les questions naturelles qui se posent sont ouvertes (par exemple, quelle est la valeur de c, quel est le diamètre typique d’une grande marche auto-évitante, ou même à quoi ressemblent les termes suivants dans le développement de C_n,d).

Le but de ces deux exposés est de décrire des progrès récents dans l’étude des marches auto-évitantes, qui sont d’inspiration probabiliste. La première séance sera consacrée à l’aspect historique et physique et aux premières propriétés, qui se montrent de manière élémentaire.
Dans la seconde séance, on expliquera la preuve du résultat récent (2012) de Hugo Duminil-Copin et Stanislav K. Smirnov (médaillé Fields 2010) qui donne la valeur de la constante de connectivité c dans le cas du réseau hexagonal (où elle vaut √(2+√2) ; de manière remarquable, la preuve n’utilise que des notions élémentaires de combinatoire et d’analyse complexe.

Orateur: Vincent Beffara (CNRS, Institut Fourier)

Texte des exposés (pdf) http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups16-03.pdf

12:00 Discussion - Pause

12:30 Déjeuner

6 La marche auto-évitante (2)

Orateur: Vincent Beffara (CNRS, Institut Fourier)