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v3.2.9
Un ensemble de nombres algébriques possède la propriété de Northcott
(N) s'il ne contient qu'un nombre fini d'éléments de hauteur de Weil
bornée. Alors que pour les corps de nombres la propriété (N) suit
immédiatement
du théorème de Northcott, établir sa validité pour une extension
infinie des rationnels est, en général, un problème difficile.
Cette propriété a été introduite en 2001 par Bombieri et Zannier, qui
ont soulevé la question de savoir si elle est valable pour les corps à
degrés locaux uniformément bornés. Ils ont également remarqué que,
pour une extension galoisienne (éventuellement infinie) des rationnels
ayant degrés locaux bornés en (au moins) un premier, la propriété (N)
est impliquée par la divergence d'une certaine somme, mais ils ont
suggéré que ce phénomène ne se produit que pour les corps de nombres.
En 2011, Widmer a donné un critère pour qu'un
extension infinie des rationnels ait la propriété (N) basé sur
certaines conditions de croissance des discriminants des
sous-extensions finies du corps.
Dans cet exposé, je présenterai plusieurs résultats obtenus dans ce
contexte avec Arno Fehm. En particulier, nous montrons l'existence
d'extensions galoisiennes infinies des rationnels pour lesquelles la
somme considérée par Bombieri et Zannier est divergente et auxquelles
le critère de Widmer ne s'applique pas. Nous montrons également
l'existence de corps sans la propriété (N) et ayant degrés locaux (non
uniformément) bornés en tous les nombres premiers. Ce dernier résultat
est un corollaire d'un théorème de Fili sur les nombres p-adiques de
petite hauteur, dont, si le temps le permet, je présenterai une
version effective.