Séminaire Calcul Formel

Bases de Grobner lexicographiques de deux polynomes en x et y modulo un polynome en x

by Dr Xavier Dahan (Tohoku University)

Europe/Paris
https://bbb.unilim.fr/b/vac-m6r-7dv

https://bbb.unilim.fr/b/vac-m6r-7dv

Description
Soit T(x) ∈ k[x]  un polynôme non-constant unitaire et écrivons R = k[x]/(T) l'anneau quotient.
Considérons deux polynômes a(x, y), b(x, y) ∈ R[y].
Dans un premier temps on suppose que T=p^e est une puissance d'un polynôme irréductible p.
On introduit un nouvel algorithme qui calcule une base de Gröbner lexicographique du système
(a, b, p^e), base sur une suite "modifiée" de sous-résultants de a et b modulo p^e, rendue possible
grâce au théorème de préparation de Weierstrass. Le théorème de structure de Lazard
concernant les bases de Gröbner lexicographiques en deux variables en constitue le socle théorique.
Dans un second temps, on géneralise cet algorithme a un polynôme T quelconque,
via un procédé "local/global" accompli par une extension de la méthode dite d' "évaluation
dynamique". Cette dernière était jusqu'alors restreinte a un polynôme T sans facteurs carrés.
L'algorithme produit des scindages du type "inversible/nilpotent", généralisant les scindages
"inversible/zéro" habituellement rencontres en évaluation dynamique classique.
On présentera les résultats expérimentaux d'une implémentation en Magma,
qui montrent souvent des gains importants pour les temps de calcul de bases
de Gröbner lex. d'un système (a,b,T) compares a la méthode "standard"  F4 + FGLM.