Calibrations pour un problème à discontinuités libres avec condition de Robin

par Camille Labourie

lundi 6 déc. 2021, 10:00 → 11:00 Europe/Paris

1013 (Université de Paris - Bâtiment Sophie Germain)

On présente un problème à discontinuité libre inspiré par l’énergie d’une configuration d’isolation thermique. Ce problème a été étudié par Caffarelli–Kriventsov et Bucur–Giacomini en relaxant la fonctionnelle dans $SBV$. Il consiste alors à minimiser

\[
E(u) = \int |\nabla u |^2 \,d\mathcal{L}^n + \int_{J_u} (u^-)^2 + (u^+)^2 \,d\mathcal{H}^{n-1} + \mathcal{L}^n(\{ u>0 \})
\]

parmi les fonctions $u \in SBV (\mathbb{R}^n)$ telles que $u = 1$ sur un domaine fixé $\Omega \subset \mathbb{R}^n$.
Au contraire des fonctionnelles convexes, un compétiteur u qui satisfait les équations d’Euler-Lagrange n’est pas forcément un minimiseur global (ni même un minimiseur local). Dans [3], Alberti, Bouchitte et Dal Maso ont proposé une relaxation convexe pour les fonctionnelles à discontinuités libres. Le fait que $u$ minimise la relaxation est caractérisé par l’existence d’un champ de vecteur particulier appelé calibration. En pratique, on ne sait pas si tous les minimiseur de $E(u)$ admettent des calibrations et un tel champ de vecteur peut être difficile à construire.
Le but de l’exposé est de regarder à quoi ressemble les calibrations pour notre problème et de
montrer des critères de minimalité avec cette méthode.

Références :
[1] L. A. Caffarelli and D. Kriventsov A free boundary problem related to thermal insulation.
Comm. Partial Differential Equations 41 (2016), no. 7, 1149-1182.
[2] D. Bucur and A. Giacomini Shape optimization problems with Robin conditions on the free
boundary. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 33 (2016), no. 6, 1539–1568.
[3] G. Alberti; G. Bouchitte; G. Dal Maso The calibration method for the Mumford-Shah functional
and free-discontinuity problems. Calc. Var. Partial Differential Equations 16 (2003), no.
3, 299-333.
[4] C. Labourie, E. Milakis, The calibration method for the Thermal Insulation functional Submitted.
Available https://arxiv.org/abs/2106.04955