Les nombres de décomposition (d'un groupe, d'une algèbre) encodent la façon dont une représentation se décompose lorsque les coefficients changent de la caractéristique zéro à la caractéristique positive.
Dans la première partie de l'exposé je donnerai quelques résultats concernant ces nombres pour le groupe fini GL(n,q), puis poserai quelques problèmes pour une version tordue, le groupe général unitaire sur un corps fini GU(n,q).
Dans la seconde partie j'expliquerai comment résoudre partiellement ce problème en faisant intervenir certaines équivalences (dérivées) naturelles pour les faisceaux cohérents sur le schéma de Hilbert de $n$ points de $\mathbb{C}^2$. La combinatoire associée intervient aussi dans le calcul des invariants de nœuds pour les nœuds toriques.
Il s'agit d'un travail en cours avec R. Rouquier.
