Je parlerai des représentations des groupes réductifs réels. Il s’agit de groupes de matrices (sous-groupes de GL(n,R)) stables par transposition, comme SL(n,R) et les groupes orthogonaux ou symplectiques.
L’étude de leurs représentations est un sujet extrêmement classique, qui a connu des développements extraordinaires depuis les années 1950. Il est vite apparu que la classification des représentations unitaires irréductibles est un problème de très grande ampleur lorsque le groupe n’est pas compact. Beaucoup de questions, notamment parmi celles qui interviennent dans le programme de Langlands, ont pu être résolues sans connaître cette classification. Mais sa poursuite est restée un aiguillon pour la théorie.
Dans les années 1980, des travaux profonds de Vogan ont laissé imaginer la possibilité de réduire la classification des représentations d’un groupe donné à un nombre fini de calculs sur (entre autres) la combinatoire des systèmes de racines et de leurs groupes de Weyl. Le projet \texttt{atlas}, initié par Fokko du Cloux, consiste en une (colossale) implémentation concrète de ces idées sur ordinateur. L’un de ses grands succès est la conception précise d’un algorithme, paru cette année et dû à Adams, van Leeuwen, Trapa et Vogan, pour la classification des représentations unitaires irréductibles.
Mon exposé est une introduction à ce sujet : j’essaierai d’expliquer pourquoi l’étude des représentations de ces groupes est accessible à un algorithme fini, et quelles sont les grandes idées qui ont mené à l’algorithme récent.
