Congrès d'Analyse Numérique pour les Jeunes - 2020

Homogénéisation stochastique sur une jonction

4 déc. 2020, 15:30

30m

Zoom (Virtuel)

Session parallèle 11

Orateur

Mme Rim FAYAD (Normandie Univ, INSA de Rouen, LMI (EA 3226 - FR CNRS 3335))

Description

Le but de ce travail est de démontrer un résultat d'homogénéisation stochastique sur une jonction (homogénéisation précisée). Ce travail est motivé par les applications au trafic routier. Le trafic routier peut être modéliser à deux échelles: microscopique et macroscopique. Chaque échelle a ses propres avantages et désavantages. L'importance de l'homogénéisation précisée est de trouver des problèmes macroscopiques à partir des problèmes microscopiques en gardant en mémoire des phénomènes locaux. Récemment, il y a eu beaucoup d'attention sur l'homogénéisation des équations de HJ sur les réseaux. La plupart de ces travaux reposent sur une hypothèse de périodicité. Dans notre travail, on a démontré le cas stochastique en considérant une équation de HJ qui dépend d'une variable aléatoire. Plusieurs résultats d'homogénéisation stochastique ''classique'' sont déjà démontrés. La difficulté dans notre cas par rapport à ces résultats est que l'on considère une perturbation au voisinage de zéro. Donc d'un point de vue trafic routier le flux est limité au voisinage de zéro. La présence de la jonction empêche la stationnarité de l'équation qui est une hypothèse essentielle dans les résultats obtenus précédemment. Cela empêche en particulier d'utiliser les arguments classiques utilisés pour prouver l'homogénéisation. Pour surmonter cette difficulté nous avons utilisé un argument quantitatif.

Plus précisément, le problème que l'on considère est un cas où l'hamiltonien $H$ est égale à $H_L$ proche de $-\mathrm{\infty }$ et à $H_R$ proche de $+\mathrm{\infty }$, $H_L$ et $H_R$, étant deux hamiltoniens stationnaires ergodiques, avec une zone de transition (au voisinage de zéro) entre les deux. On étudie deux cas, le premier est celui où l'on passe de manière convexe de $H_L$ à $H_R$. Dans ce cas, et au sens du trafic routier, le flux n'est pas limité et on obtient un limiteur de flux déterministe. Le second est le cas où on limite réellement le flux près de l'origine. Dans ce cas on est obligé d'avoir une zone de transition avec un rayon de l'ordre $1/\sqrt{ϵ}$, c.à.d de plus en plus grande quand $ϵ\to 0$. On arrive alors à montrer que le limiteur de flux est déterministe sur des ensembles de plus en plus grands (de probabilité $<1$) et à la limite ($ϵ\to 0$) sur un ensemble de probabilité 1.
Un contre exemple est donné pour démontrer qu'on ne peut pas trouver à la limite un problème déterministe avec un limiteur de flux déterministe si on prend une zone fixe avec une vraie limitation du flux.