Comportement aléatoire local des suites réelles: résultats métriques, énergie additive et inégalités diophantiennes

par Marc Munsch (TU Graz)

mardi 29 sept. 2020, 10:30 → 11:30 Europe/Paris

Bât. Braconnier, salle 112 (ICJ, Université Lyon 1)

L'équirépartition d'une suite $(x_n)_n$ à valeurs dans l'intervalle [0,1) peut être vue comme une propriété pseudo-aléatoire à un niveau global. A un niveau plus local, on peut s'intéresser aux statistiques des écarts entre les éléments de la suite $(x_n)_n$. Lorsqu'au niveau local le comportement de notre suite est aléatoire on dit qu'elle a la propriété de Poisson.

Les travaux de Rudnick, Sarnak et Zaharescu ont permis de développer une théorie métrique donnant des résultats sur les écarts des suites $(a_n \alpha)_n$ pour presque tout réel $\alpha$ où $(a_n)_n$ est une suite d'entiers. Récemment, un critère général a été démontré permettant de caractériser la propriété de Poisson pour presque tout $\alpha$ à l'aide de l'énergie additive de la suite d'entiers $(a_n)_n$.

Dans cet exposé, on présente un critère général dans le cas plus délicat d'une suite de réels $(a_n)_n$. Celui-ci fait intervenir le comptage de points définis par une inégalité diophantienne. On donne quelques exemples d'applications de notre méthode et propose plusieurs problèmes ouverts.

Travail en collaboration avec Christoph Aisleitner et Daniel EL-Baz.