Webinaire EFI

Fonctions harmoniques discrètes dans les trois-quarts de plan

by Amélie Trotignon

Europe/Paris
Description

Les fonctions harmoniques discrètes jouent un rôle important en probabilités et sont fortement reliées à l’énumération de marches aléatoires. La transformation de Doob est un moyen de construire un processus aléatoire conditionné dans un cône à partir d’un processus aléatoire et une fonction harmonique positive s’annulant au bord du cône. Trouver des fonctions harmoniques positives associées à des processus aléatoires est donc un objectif naturel dans l’étude des marches aléatoires confinées. Il y a très peu de moyens de calculer des fonctions harmoniques discrètes. Dans cet exposé nous nous intéressons aux fonctions harmoniques discrètes aux conditions de Dirichlet dans les trois quarts de plan. Tandis que les marches (aléatoires) dans le quart de plan ont été très étudiées, le cas des marches évitant un quadrant n’a été développé que récemment. Nous étendons la méthode du quart de plan — résolution d’une équation fonctionnelle via un problème frontière à l’aide de transformations conformes — aux trois-quart de plan en appliquant la stratégie de découper le domaine en deux cônes symétriques. Nous obtenons une expression explicite simple de la fonction génératrice algébrique des fonctions harmoniques associées aux marches aléatoires évitant un quadrant.