Séminaire de Géométrie, Groupes et Dynamique

Victor Kleptsyn: "Théorème de Furstenberg : des versions à paramètre et non-stationnaire."

Europe/Paris
435 (UMPA)

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UMPA

Description
Le théorème de Furstenberg classique décrit le comportement (presque sûr) d’un produit de matrices aléatoires indépendantes : leur normes ont (presque sûrement) une croissance exponentielle. Dans notre un travail avec A. Gorodetski, nous étudions deux directions de son généralisation.

La première question est ce que se passe si ces matrices dépendent d’un paramètre supplémentaire. Dans cette nouvelle situation, la conclusion est différente de théorème classique. C’est-à-dire : sous certaines hypothèses, presque sûrement l’énoncé suivante est vrai. Même si pour presque tous les paramètres les produits ont une croissance exponentielle, il existe un ensemble (aléatoire) résiduel des paramètres « exceptionnels », sur lequel la limite inférieure pour l’exposant de Lyapunov est nulle. Nos résultats sont reliés à la localisation d’Anderson en dimension un, et fournissent un point de vue purement dynamique sur son preuve. 

La deuxième, est ce que se passe si les lois de facteurs A_1,A_2, etc. sont différentes. Et même si les conclusions ici généralisent très naturellement le théorème classique, il faut les obtenir dans la situation où on n’a plus des outils standards : mesure stationnaire, théorème ergodique, exposant de Lyapunov, etc.