Séminaire Combinatoire et Théorie des Nombres ICJ

A la recherche d'une nouvelle version des identités de Gordon

by Pooneh Afshari Joo

Europe/Paris
Bât. Braconnier, salle 112 (ICJ, Université Lyon 1)

Bât. Braconnier, salle 112

ICJ, Université Lyon 1

Description

Une partition d'un nombre entier positif $n$ est une suite $\Lambda : (\lambda_1 \geq \cdots \geq \lambda_l)$ telle que $\lambda_1 + \cdots + \lambda_l = n$. Les entiers qui apparaissent sont appelés les parties de $\Lambda$.
Ma recherche est centrée sur l'étude des partitions des nombres entiers et les identités entre elles. On étudie ce type d'identités en utilisant la relation entre les séries génératrices des partitions et les séries de Hilbert-Poincaré des algèbres graduées associées à un objet important de la géométrie algébrique : l'espace des arcs.


Une de ces identités est la suivante :
Théorème. (La première identité de Rogers-Ramanujan) Le nombre de partitions d'un nombre naturel $n$ dont les parties sont congruentes à 1 ou 4 modulo 5 est égal au nombre de partitions de $n$ dont les parties ne sont ni égales ni consécutives.
En utilisant des idéaux différentiels et des méthodes venant de la théorie d'espace des arcs, nous trouvons une famille d'identités de type Rogers-Ramanujan. Ensuite, nous énonçons une conjecture qui pourrait ajouter un nouveau membre aux identités de Gordon qui sont une généralisation d'identités de Rogers-Ramanujan.