Séminaire Combinatoire et Théorie des Nombres ICJ

Une $q$-série génératrice pour les invariants de Gromov-Witten $K$-théoriques

by Alexis Roquefeuil (Université d'Angers)

Europe/Paris
Bât. Braconnier, salle Fokko du Cloux (ICJ, Université Lyon 1)

Bât. Braconnier, salle Fokko du Cloux

ICJ, Université Lyon 1

Description

Un exemple d'invariant de Gromov--Witten est le nombre de courbes rationnelles de degré $d>0$ dans le plan projectif complexe $\mathbb{P}^2_\mathbb{C}$ passant par $3d-1$ points. En général, ces invariants ont une définition assez technique : ils sont obtenus comme le degré de l'intersection de certaines classes cohomologiques qui vivent dans l'espace de module des applications stables, construit par M. Kontsevich. En 2004, A. Givental et Y.P. Lee ont défini de nouveaux invariants qui sont des analogues $K$-théoriques des invariants de Gromov--Witten usuels. Ces invariants sont obtenus comme la caractéristique d'Euler de fibrés sur le même espace de module.

Dans cet exposé, on introduira une $q$-série $K$-théoriques. Il se trouve que cette $q$-série est la solution d'une équation aux $q$-différences.
On expliquera comment voir cette $q$-série comme le $q$-analogue d'une série bien connue pour les invariants de Gromov--Witten cohomologiques, appelée fonction $J$ de Givental. On tentera ensuite d'établir quelques propriétés de cette $q$-série.

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