Speaker
Sadjiya Ariche
Description
Dans cet exposé, on étudie les solutions de l'équation de Laplace:
\begin{eqnarray}\label{1}
-\Delta u =g \delta_\sigma\;\;\;\hbox{ dans } Q\subseteq \mathbb{R}^3,
\end{eqnarray}
o\`u $\delta_\sigma$ est la masse de Dirac sur une fissure $\sigma$ de $Q$ et $g\in L^2(\sigma)$.
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On distingue deux cas.
Dans le premier, on
prend $\sigma=\{(0,0)\} \times \mathbb{R}$ une droite entière et $Q:=\Omega \times \mathbb{R}$ un cylindre de $\mathbb{R}^3$ avec $\Omega$ un ouvert borné de $\mathbb{R}^2$ contenant $(0,0)$. Comme $\Omega$ est borné, dans ce cas, nous considérons le problème de Dirichlet associé à cette équation.
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Dans le deuxième, $Q=\mathbb{R}^3$ et $\sigma$ est une demi droite de $\mathbb{R}^3$.
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Dans les deux cas,
la solution de (\ref{1}) n'est pas dans $H^1(Q)$ (à cause de la masse de Dirac, le second membre à droite n'est pas dans $H^{-1}(Q)$),
mais nous obtenons des résultats de régularité de la solution et des estimations a priori dans les espaces de Sobolev avec poids.
