Soient S une surface et V le Q espace vectoriel des diviseurs sur S modulo équivalence numérique et n sa dimension. Le produit d'intersection définit un accouplement parfait sur V. Le théorème de l'indice de Hodge dit qu'il est de signature (1,n-1). Dans les années Soixante Grothendieck a conjecturé une généralisation de cet énoncé aux cycles de codimension quelconque sur des variétés générales. En caractéristique zéro cette conjecture est une conséquence des relations de Hodge Riemann. En caractéristique positive assez peu est connu. A l'aide de formules du produit classiques sur les formes quadratiques nous allons traduire cette question de signature en un problème p-adique. Il se trouve que ce dernier peut être attaqué avec la théorie de Hodge p-adique. Cela nous permettra de démontrer la question originale pour les variétés abéliennes de dimension quatre. Cet exposé sera (je l'espère) une bonne excuse pour voir des exemples d'utilisation concrète de la théorie de Hodge, de la cohomologie l-adique et de la cohomologie cristalline et pour apprécier des différences entre ces théories.
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