Dans un article arXiv septembre 2018, Dawid Kielak prouve le théorème suivant.
Soit G un groupe de type fini admettant (G_n) une suite décroissante de sous-groupes d'indice fini distingués telles que
G_n/G_{n+1} est un quotient de l'abélianisé libre de G_n (un tel groupe est dit Residually Finite Rationally Solvable ou RFRS). Noter que ceci implique que b_1(G_n) tend vers l'infini.
On suppose de plus que β_1(G)=0 (premier nombre de Betti L^2), ce qui équivaut à b_1(G_n)=o([G:G_n]).
Alors G est "virtuellement fibré" au sens où l'un des G_n admet un morphisme non nul vers Z de noyau de type fini.
Ceci permet de retrouver le théorème d'Agol 2008 que toute 3-variété compacte irréductible de caractéristique d'Euler nulle a un revêtement fini qui fibre sur le cercle. En 2013, Agol prouvait que toute 3-variété hyperbolique close a un groupe fondamental RFRS, donc est virtuellement fibrée, complétant la preuve d'une conjecture de Thurston.
La preuve utilise la "clôture par division" D(G) de l'algèbre de von Neumann N(G) dans celle des "opérateurs affiliés" U(G). Par un théorème de Linnell, D(G) est un corps gauche [version de la conjecture d'Atiyah forte pour G sans torsion]. L'hypothèse β_1(G)=0 se traduit par H_1(G,D(G))=0.
L'idée essentielle est de montrer que les éléments de D(G) peuvent se représenter à partir d'anneaux de Novikov Q[G_n]_u de sous-groupes G_n par rapport à un morphisme u : G_n->Z (complété de l'anneau de groupe Q[G_n] dans la direction u) et aussi pour -u. On en déduit que H_1(G,Q[G_n]_u)=0=H_1(G,Q[G_n]_{-u}) ce qui par un théorème de Sikorav 1987 (non publié) permet de conclure.
