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v3.2.9
La connexion entre les propriétés arithmétiques d'un entier et les propriétés de ses chiffres dans une base donnée est à l'origine de nombreuses questions et travaux. Dans le contexte des corps finis, la structure algébrique permet de formuler et d'étudier de nouveaux problèmes intéressants qui pourraient être hors d'atteinte dans $\mathbb{N}$. C. Dartyge et A. Sàrközy ont initié cette étude dans $\mathbb{F}_q$. Nous étudierons de nouvelles questions dans cet esprit :
1) estimer avec précision le nombre d'éléments de certaines suites remarquables de $\mathbb{F}_q$ dont la somme des chiffres est fixée;
2) étant donné deux sous-ensembles $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ de $\mathbb{F}_q$, trouver des conditions sur $|\mathcal{C}|$ et $|\mathcal{D}|$ pour assurer l'existence de $(c,d) \in \mathcal{C} \times \mathcal{D}$ tel que la somme des chiffres de $cd$ appartienne à un sous-ensemble donné de $\mathbb{F}_p$;
3) estimer le nombre d'éléments d'une suite intéressante de $\mathbb{F}_q$ avec des chiffres préassignés.
La notion de chiffres dans $\mathbb{F}_q$ est directement liée à la notion de trace qui est fondamentale dans l'étude des corps finis et nos résultats peuvent être reformulés avec ce point de vue.