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v3.2.9
La théorie des fonctions symétriques est une source particulièrement fertile d'identités combinatoires importantes (numériques ou polynomiales). Pour cela, il faut bien entendu des expressions positives (avec coefficients entiers). Les mécanismes qui permettent d'obtenir des identités combinatoires intéressantes à partir d’identités pour les fonctions symétriques font en effet intervenir des expressions dites "Schur positives". Nous allons montrer qu’il y a à la fois rareté de ce phénomène de Schur positivité, et forte invariance de celle-ci pour toutes les opérations importantes du contexte. Nous allons ensuite souligner comment plusieurs problèmes importants de la recherche récente en combinatoire algébrique font intervenir cette problématique de Schur positivité. Pour conclure, si le temps le permet, on mentionnera aussi des liens avec une version algébrique du problème P vs NP.