Une introduction aux périodes (1)

• Javier Fresán (École polytechnique)

Room: Amphithéâtre Becquerel Les périodes sont des nombres complexes (tels que π ou les valeurs prises aux entiers positifs par des fonctions comme le logarithme ou la fonction zêta de Riemann) dont les parties réelle et imaginaire peuvent s'écrire comme l'intégrale d'une fonction rationnelle à coefficients rationnels sur un domaine de l'espace affine réel défini par des inégalités polynomiales à coefficients rationnels. Selon une conjecture de Kontsevich-Zagier, toutes les relations algébriques parmi ces nombres devraient se déduire des règles évidentes du calcul intégral : additivité, changement de variables, formule de Stokes. Dans le premier exposé, j'expliquerai en détail la définition des périodes, ainsi que quelques propriétés élémentaires qui s'ensuivent, en les illustrant par de nombreux exemples. Dans le deuxième exposé, je me dirigerai doucement vers l’interprétation des périodes en termes de formes différentielles algébriques et de cycles topologiques sur les variétés algébriques, point de vue qui est à l'origine de toutes les percées récentes dans l'étude de ces nombres.

Valeurs zêta multiples (1)

• Clément Dupont (Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck)

Room: Amphithéâtre Becquerel Les valeurs zêta multiples forment une famille de constantes mathématiques fondamentales qui contient notamment les valeurs aux entiers de la fonction zêta de Riemann. Si Euler leur a consacré des travaux, c’est seulement à la fin du 20ème siècle que mathématiciens et physiciens ont réalisé l’importance de ces nombres qui apparaissent naturellement dans des situations variées. Des travaux récents (Goncharov, Deligne, Brown, …) ont mis en évidence une structure cachée qui est révélée par la géométrie : une théorie de Galois des valeurs zêta multiples. L’étude de cette structure a permis de prouver des résultats spectaculaires sur les relations algébriques satisfaites par ces nombres, que nous présenterons. Si le temps le permet, nous discuterons de l’apparition des valeurs zêta multiples en physique des particules à travers le calcul d’intégrales de Feynman.

E-fonctions et G-fonctions de Siegel (1)

• Tanguy Rivoal (CNRS, Université Grenoble-Alpes)

Room: Amphithéâtre Becquerel Siegel a introduit en 1929 les E- et G-fonctions, deux classes de séries entières à coefficients algébriques et solutions d'équations différentielles à coefficients polynomiaux. Son but était de généraliser les théorèmes classiques d'Hermite, Lindemann et Weierstrass concernant la nature arithmétique des valeurs des fonctions exponentielle et logarithme aux points algébriques, que ces deux classes généralisent respectivement. Les E-fonctions contiennent les fonctions de Bessel par exemple, tandis que les G-fonctions contiennent les polylogarithmes multiples (donc les valeurs zêta multiples (MZV) par spécialisation) et sont fortement liées aux périodes de variétés algébriques sur Q. Dans mon premier exposé, j'expliquerai comment l'on obtient ces résultats classiques au moyen de la théorie des approximants de Padé "explicites'', puis comment avec des méthodes "inexplicites'', Siegel et Shidlovsky ont obtenu leur célèbre résultat (1956) sur la nature arithmétique des valeurs de E-fonctions. Enfin, j'expliquerai comment Chudnovsky a complété en 1984 le programme de Siegel sur la nature diophantienne des G-fonctions. Dans mon second exposé, j'expliquerai comment les travaux d'André, Chudnovsky et Katz ont permis d'élucider complètement la nature des équations différentielles vérifiées par les G-fonctions puis, par ricochet, comment André a pu en 2000 déterminer la nature des équations différentielles vérifiées par les E-fonctions. Je conclurai par les nouvelles applications arithmétiques que l'on a pu déduire récemment de ces propriétés différentielles et qui complètent le théorème de Siegel-Shidlovsky (travaux d'André, Beukers, Adamczewski-Rivoal).

E-fonctions et G-fonctions de Siegel (2)

• Tanguy Rivoal (CNRS, Université Grenoble-Alpes)

Room: Amphithéâtre Becquerel

Une introduction aux périodes (2)

• Javier Fresán (École polytechnique)

Room: Amphithéâtre Becquerel

Valeurs zêta multiples (2)

• Clément Dupont (Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck)

Room: Amphithéâtre Becquerel