15-16 April 2019
École polytechnique
Europe/Paris timezone

E-fonctions et G-fonctions de Siegel (1)

15 Apr 2019, 15:30
1h
Amphithéâtre Becquerel (École polytechnique)

Amphithéâtre Becquerel

École polytechnique

91128 Palaiseau RER B station Lozère

Speaker

Tanguy Rivoal (CNRS, Université Grenoble-Alpes)

Description

Siegel a introduit en 1929 les E- et G-fonctions, deux classes de séries entières à coefficients algébriques et solutions d'équations différentielles à coefficients polynomiaux. Son but était de généraliser les théorèmes classiques d'Hermite, Lindemann et Weierstrass concernant la nature arithmétique des valeurs des fonctions exponentielle et logarithme aux points algébriques, que ces deux classes généralisent respectivement. Les E-fonctions contiennent les fonctions de Bessel par exemple, tandis que les G-fonctions contiennent les polylogarithmes multiples (donc les valeurs zêta multiples (MZV) par spécialisation) et sont fortement liées aux périodes de variétés algébriques sur Q.

Dans mon premier exposé, j'expliquerai comment l'on obtient ces résultats classiques au moyen de la théorie des approximants de Padé "explicites'', puis comment avec des méthodes "inexplicites'', Siegel et Shidlovsky ont obtenu leur célèbre résultat (1956) sur la nature arithmétique des valeurs de E-fonctions. Enfin, j'expliquerai comment Chudnovsky a complété en 1984 le programme de Siegel sur la nature diophantienne des G-fonctions.

Dans mon second exposé, j'expliquerai comment les travaux d'André, Chudnovsky et Katz ont permis d'élucider complètement la nature des équations différentielles vérifiées par les G-fonctions puis, par ricochet, comment André a pu en 2000 déterminer la nature des équations différentielles vérifiées par les E-fonctions. Je conclurai par les nouvelles applications arithmétiques que l'on a pu déduire récemment de ces propriétés différentielles et qui complètent le théorème de Siegel-Shidlovsky (travaux d'André, Beukers, Adamczewski-Rivoal).

Presentation Materials