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Séminaire Combinatoire et Théorie des Nombres ICJ

Sur les séries génératrices des marches dans le quart de plan

by Julien Roques (Université Grenoble Alpes)

mardi 20 mars 2018 de au (Europe/Paris)
at ICJ, Université Lyon 1 ( Bât. Braconnier, salle Fokko du Cloux )
Description
L'étude des marches dans le plan a connu des développements
récents passionnants. C'est à la nature des séries génératrices des
marches dans un quart de plan que sera consacré cet exposé. Nous nous
intéresserons aux questions suivantes : ces séries génératrices
sont-elles rationnelles ? algébriques ? vérifient-elles des équations
différentielles linéaires ? non linéaires ?

Nous commencerons par rappeler ce qu'il en est de la nature des séries
génératrices des marches dans le plan tout entier ou dans un
demi-plan. Nous passerons ensuite à la nature des marches dans un
quart de plan, dont l'étude a été entreprise dans un article majeur de
Bousquet-Mélou et Mishna. Nous présenterons la teneur de cet article
et passerons en revue un certain nombre de travaux récents l'ayant
suivi. A l'issue de ces beaux travaux, la question suivante restait
largement ouverte : quelles marches dans le quart de plan possèdent
une série génératrice vérifiant une équation différentielle non
linéaire? Nous avons apporté une réponse à cette question dans un
article en collaboration avec Dreyfus, Hardouin et Singer. C'est à ce 
travail que sera consacré la suite de cet exposé.