Sur les séries génératrices des marches dans le quart de plan
par
Julien Roques(Université Grenoble Alpes)
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Europe/Paris
Bât. Braconnier, salle Fokko du Cloux (ICJ, Université Lyon 1)
Bât. Braconnier, salle Fokko du Cloux
ICJ, Université Lyon 1
Description
L'étude des marches dans le plan a connu des développements
récents passionnants. C'est à la nature des séries génératrices des
marches dans un quart de plan que sera consacré cet exposé. Nous nous
intéresserons aux questions suivantes : ces séries génératrices
sont-elles rationnelles ? algébriques ? vérifient-elles des équations
différentielles linéaires ? non linéaires ?
Nous commencerons par rappeler ce qu'il en est de la nature des séries
génératrices des marches dans le plan tout entier ou dans un
demi-plan. Nous passerons ensuite à la nature des marches dans un
quart de plan, dont l'étude a été entreprise dans un article majeur de
Bousquet-Mélou et Mishna. Nous présenterons la teneur de cet article
et passerons en revue un certain nombre de travaux récents l'ayant
suivi. A l'issue de ces beaux travaux, la question suivante restait
largement ouverte : quelles marches dans le quart de plan possèdent
une série génératrice vérifiant une équation différentielle non
linéaire? Nous avons apporté une réponse à cette question dans un
article en collaboration avec Dreyfus, Hardouin et Singer. C'est à ce
travail que sera consacré la suite de cet exposé.