Séminaire Combinatoire et Théorie des Nombres ICJ

Des congruences entre formes automorphes au programme de Langlands modulo $p$

by Stefano Morra (Université de Montpellier)

Europe/Paris
Bât. Braconnier, salle Fokko du Cloux (ICJ, Université Lyon 1)

Bât. Braconnier, salle Fokko du Cloux

ICJ, Université Lyon 1

Description
La technique de relèvement modulaire de Kisin-Taylor-Wiles nous permet de traduire les phénomènes de congruences entre formes automorphes en termes de déformations Galoisiennes locales. Dans ce cadre les conjectures de Serre se traduisent en voyant le poids d'une forme modulaire comme un système local sur les espaces des formes automorphes algébriques de $p$-torsion sur $U(n)$, avec niveau infini en $p$ ; elles suggèrent donc un lien étroit entre la géométrie des espaces de déformation Galoisiens potentiellement semistables avec des représentations lisses de $\mathrm{GL}_n(\mathbf{Q}_p)$ de $p$-torsion. C'est le scénario proposée par la conjecture de Breuil-Mézard géométrique et la conjecture cristalline de Breuil, qui sont à la base du programme de Langlands modulo $p$ et $p$-adique. Dans cet exposé on donnera une présentation de ces phénomènes et conjectures, en introduisant des techniques nouvelles en théorie de Hodge $p$-adique pour calculer les espaces de déformations locaux et les structures entières dans les $K$-types modérés, ce qui nous permet de prouver plusieurs cas de ces conjectures pour $U(3)$. Il s'agit de travaux en commun avec Bao-Viet Le Hung, Daniel Le et Brandon Levin.
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