Les personnes qui possèdent un compte PLM-Mathrice sont invités à l'utiliser.
Séminaire de Géométrie, Groupes et Dynamiques

Théorème de Furstenberg avec un paramètre et localisation d’Anderson en dimension un

by Victor Kleptsyn (Université de Rennes 1)

mercredi 24 mai 2017 de au (Europe/Paris)
Description
Je parlerai sur le résultats d’un travail en commun avec Anton Gorodetski.

Il est bien connu (et c’est le cas le plus simple de théorème fameux de Furstenberg) 
que si on considère un produit aléatoire 
B_n=A_n … A_2 A_1
de matrices i.i.d. A_j dans SL(2,R), le norme de ce produit est de croissance 
exponentielle, sous des hypothèses très faible sur la loi de matrices A_i. 

Mais que se passe-t-il si on multiplie des matrices dépendantes d’un paramètre A_i(s), 
en obtenant un produit B_n(s) qui en dépend aussi ? 

Pour chaque valeur individuel de s, le théorème de Furstenberg est toujours applicable. 
Mais il se trouve que sous certains hypothèses sur le loi de A_i(s), 
presque surement il existe un ensemble (aléatoire) X de paramètres, tel que 
pour chaque s dans cet ensemble on a 
liminf 1/n log \| B_n(s) \| =0.

Tout ça est relié avec la localisation d’Anderson en dimension un. C’est-à-dire : 
un opérateur  H \Psi = \Delta \Psi + U(n) Psi(n), agissant 
sur l_2(Z), où \Delta est un Laplacien discret et les valeurs U(n) sont 
aléatoires, i.i.d. et non-constants, est connu d'avoir presque surement 
un spectre purement ponctuel (sous des hypothèses très faibles sur le loi de U). 

En approchant cette question par des produits de matrices, nous obtenons 
une manière très naturelle dynamique de penser de (et de re-démontrer) ces 
résultats.