Viscosité évanescente et domaine rugueux

par Christophe Lacave (IF, Université Grenoble Alpes)

mardi 21 mars 2017, 14:00 → 15:00 Europe/Paris

Fokko Du Cloux (Université Claude Bernard Lyon 1 - Campus de la Doua, Bâtiment Braconnier)

Nous étudierons dans cet exposé la limite grand nombre de Reynolds pour un fluide visqueux en présence d'un bord rugueux. Plus précisément, nous considérerons les équations de Navier-Stokes (incompressible et 2D) avec la condition au bord de glissement de Navier, dans un domaine où le bord admet des oscillations rapides de la forme $x_2 = \epsilon^{1+\alpha} \eta(x_1/\epsilon)$, $\alpha > 0$. Sous certaines conditions entre le paramètre d'oscillation $\epsilon$ et de viscosité $\nu$, nous démontrerons que les solutions du système de Navier-Stokes convergent vers des solutions du système d'Euler dans la limite simultanée $(\nu,\epsilon)\to (0,0)$. Le principal problème est que la courbure du domaine est non bornée quand $\epsilon \to 0$, ce qui exclut l'utilisation des méthodes classiques pour la limite faible viscosité. Tout d'abord, nous construirons une couche limite précise approchant les solutions d'Euler dans un domaine rugueux, puis nous dériverons des estimations de stabilité de cette approximation par l'évolution de Navier-Stokes. Ce travail est en collaboration avec D. Gérard-Varet, T. Nguyen et F. Rousset.