Où sont les racines des polynômes p-adiques approchés ?

par Tristan Vaccon

jeudi 9 juil. 2026, 10:00 → 11:00 Europe/Paris

XR203 (XLIM)

Lorsqu'on travaille avec des polynômes sur les p-adiques, on est amené naturellement à travailler avec des approximations de la forme f + O(p^N).

Peut-on savoir où sont les racines de tous les polynômes de la forme f + O(p^N) ?

Prenons un exemple avec f = X² + O(p²⁰).

On a dans cet ensemble de polynômes :

• X², qui a 0 comme racine double ;
• X² − p²⁰, qui a deux racines simples : p¹⁰ et −p¹⁰.

Dans un travail commun avec Adrien Poteaux et Martin Weimann, nous combinons les algorithmes OM, le calcul du squelette de Berkovich des racines d'un polynôme et le théorème de continuité des racines de Brink pour donner une réponse algorithmique à cette question de trouver où sont les racines des polynômes de la forme f + O(p^N).

Divulgâchage : pour X² + O(p²⁰), chaque polynôme a deux racines dans la boule centrée en 0 de rayon p⁻¹⁰, et cette réponse est optimale. On verra dans l'exposé pourquoi c'est le cas.