Orateur
Description
Un certain nombre de problèmes concrets peuvent être formulés comme des problèmes de transport optimal multimarginales, où chacune des marginales peut représenter, par exemple, une particule ou un actif financier. Les méthodes classiques de résolution de ces problèmes sont confrontées à la malédiction de la dimension : leur complexité numérique croît rapidement avec le nombre de marginales.
Pour contourner ce problème, Alfonsi et al. [1] ont introduit une relaxation des problèmes de transport optimal multimarginales où les contraintes de marginales sont remplacées par un nombre fini de contraintes de moments. Les problèmes ainsi obtenus, appelés problèmes de transport optimal sous contraintes de moments, admettent des solutions parcimonieuses qui s’expriment comme des combinaisons convexes d’un nombre fini de masses de Dirac, ce nombre croissant au plus linéairement avec celui des marginales.
La résolution du problème de transport optimal sous contraintes de moments conduit à un problème d’optimisation non convexe, pour lequel les méthodes d’optimisation classiques peuvent s’avérer inefficaces. Pour y remédier, Alfonsi et al. [2] ont proposé d’introduire une régularisation entropique afin de pouvoir utiliser une dynamique de Langevin sur la variété définie par les contraintes de moments, ainsi qu’une procédure de recuit simulé pour atteindre une solution du problème.
Dans cet exposé, nous présenterons l’état actuel de la théorie de ces problèmes et des méthodes permettant de les résoudre.
[1] A. Alfonsi, R. Coyaud, V. Ehrlacher, D. Lombardi, Approximation of optimal transport problems with marginal moments constraints, Mathematics of Computation 90 (2021), 689–737.
[2] A. Alfonsi, R. Coyaud, V. Ehrlacher, Constrained overdamped Langevin dynamics for symmetric multimarginal optimal transportation, Mathematical Models and Methods in Applied Sciences 32 (2022), no. 3, 403–455.
[3] V. Ehrlacher, L. Nenna, Sparse Approximation of the Lieb Functional with Moment Constraints, SIAM Journal on Mathematical Analysis 58 (2026), no. 3, 2865–2893.