Transport optimal et applications

mercredi 7 oct. 2026, 14:00 → 18:00 Europe/Paris

Salle Yvette Cauchois (IHP - Bâtiment Perrin)

 

1 Le Flow Matching et ses liens avec le Transport Optimal

Le Flow Matching est un cadre théorique récent permettant d'apprendre des transformations continues entre mesures de probabilité, très utilisé en apprentissage automatique, notamment pour la génération d'images.

L'idée centrale consiste à construire un champ de vélocité dépendant du temps dont le flot transporte une distribution source vers une distribution cible. Contrairement à d'autres méthodes utilisés en génération d’image, l'apprentissage du champ de vitesse se réduit à un simple problème de régression sur des paires d’échantillons, ce qui rend le Flow Matching particulièrement simple à mettre en oeuvre. Cet exposé proposera une introduction au sujet. Nous clarifierons également les liens étroits entre Flow Matching et le Transport Optimal. L’exposé sera illustré de plusieurs exemples en faible dimension, et de résultats en génération d'images.

Orateur: Prof. Julie DELON (Université Paris Cité)

15:00 Pause café

2 Particle method for a nonlinear multimarginal optimal transport problem

We study a Lagrangian particle discretization of a risk estimation problem formulated in the framework of optimal transport. Broadly speaking, the problem consists in determining the most pessimistic dependence structure of a finite number of risk factors. Given finitely many univariate probability measures representing risk factors, together with a real-valued loss function that quantifies the severity of each scenario, we seek the joint distribution that maximizes a prescribed spectral risk measure. More precisely, the objective function is not the mean of the loss functions under the joint law, but a weighted average of the induced loss distribution. The weights emphasize large losses, which makes the functional nonlinear in the joint law. Ennaji, Mérigot, Nenna, and Pass showed that this problem is equivalent to a standard multimarginal optimal transport problem with one additional marginal encoding the weights of the spectral risk measure. As is often the case in optimal transport, solutions are typically supported on sets of dimension much smaller than that of the ambient space, which renders Eulerian grid-based methods inherently inefficient. To discretize the problem, we therefore approximate the joint law by a measure supported on N equally weighted Dirac masses and optimize their locations, in a Lagrangian-like framework. The marginal constraints are relaxed through quadratic Wasserstein penalization terms, each corresponding to a one-dimensional semi-discrete optimal transport cost. We show the discretized problem converges to the original one as N goes to infinity, and we establish two different convergence rates. The first one is determined by the dimension of the support of an optimal solution, and requires only mild assumptions. On the other hand, assuming supermodularity of the loss function — a rather strong assumption — the convergence rate depends solely on the asymptotic uniform quantization errors of the marginal distributions. Numerical experiments illustrate and support our theoretical results.

Orateur: Adrien Cances (LMO, Université Paris-Saclay)

3 Problèmes de transport optimal sous contraintes de moments

Un certain nombre de problèmes concrets peuvent être formulés comme des problèmes de transport optimal multimarginales, où chacune des marginales peut représenter, par exemple, une particule ou un actif financier. Les méthodes classiques de résolution de ces problèmes sont confrontées à la malédiction de la dimension : leur complexité numérique croît rapidement avec le nombre de marginales.

Pour contourner ce problème, Alfonsi et al. [1] ont introduit une relaxation des problèmes de transport optimal multimarginales où les contraintes de marginales sont remplacées par un nombre fini de contraintes de moments. Les problèmes ainsi obtenus, appelés problèmes de transport optimal sous contraintes de moments, admettent des solutions parcimonieuses qui s’expriment comme des combinaisons convexes d’un nombre fini de masses de Dirac, ce nombre croissant au plus linéairement avec celui des marginales.

La résolution du problème de transport optimal sous contraintes de moments conduit à un problème d’optimisation non convexe, pour lequel les méthodes d’optimisation classiques peuvent s’avérer inefficaces. Pour y remédier, Alfonsi et al. [2] ont proposé d’introduire une régularisation entropique afin de pouvoir utiliser une dynamique de Langevin sur la variété définie par les contraintes de moments, ainsi qu’une procédure de recuit simulé pour atteindre une solution du problème.

Dans cet exposé, nous présenterons l’état actuel de la théorie de ces problèmes et des méthodes permettant de les résoudre.

[1] A. Alfonsi, R. Coyaud, V. Ehrlacher, D. Lombardi, Approximation of optimal transport problems with marginal moments constraints, Mathematics of Computation 90 (2021), 689–737.

[2] A. Alfonsi, R. Coyaud, V. Ehrlacher, Constrained overdamped Langevin dynamics for symmetric multimarginal optimal transportation, Mathematical Models and Methods in Applied Sciences 32 (2022), no. 3, 403–455.

[3] V. Ehrlacher, L. Nenna, Sparse Approximation of the Lieb Functional with Moment Constraints, SIAM Journal on Mathematical Analysis 58 (2026), no. 3, 2865–2893.

Orateur: François Escolan (CERMICS, École Nationale des Ponts et Chaussées)

16:30 Pause café

4 Barycentres de Wasserstein : stabilité quantitative.

Les barycentres de Wasserstein, généralisant la notion de moyenne euclidienne à l’espace des mesures de probabilité muni de la distance du transport optimal, connaissent depuis plus d’une décennie une attention accrue de la communauté mathématique pour leur pertinence à synthétiser des données provenant des domaines de l’imagerie, des statistiques et du machine learning. De par la nature bruitée des objets de ces derniers domaines, la stabilité vis-à-vis des données de ces barycentres de Wasserstein se pose naturellement comme une question théorique intéressante, nécessitant des estimations quantitatives précises. Nous discuterons des conditions de cette stabilité quantitative en présentant des taux de convergence explicites en distance de Wasserstein. Nous aborderons également certaines variantes, telles que les barycentres entropiques et doubles entropiques, qui s'avèrent particulièrement pertinentes pour la calculabilité algorithmique et permettent d'obtenir des contrôles de régularité plus fins, notamment dans des espaces de Sobolev.

Orateur: Julien Guerin (CEREMADE, Université Paris-Dauphine)

5 A geometric point of view on the Wasserstein space: Entropic interpolation and applications

It has been known since Otto’s seminal work that the space of
probability measures $\mathcal{P}(M)$ on a closed Riemannian manifold $M$ can be
endowed with an infinite-dimensional, quasi-Riemannian structure. After briefly
recalling some fundamental notions from Riemannian geometry, we will explore the
resulting geometry of $\mathcal{P}(M)$. Despite its formal Riemannian structure, the
geometry of $\mathcal{P}(M)$ is highly singular. To overcome these singularities, we
will focus on the subspace $\mathcal{P}_\infty(M)$ of smooth, positive probability
measures.
A central and notoriously difficult question is whether $\mathcal{P}_\infty(M)$ is
geodesically convex. We will explain how entropic interpolations provide a natural
and effective approximation of Wassertein geodesics within $\mathcal{P}_\infty(M)$.
If time permits, we will conclude by discussing an application of this approximation
result to a curvature condition on $\mathcal{P}_\infty(M)$, with consequences for
the stability of $\mathcal{P}_\infty$-valued Stochastic Differential Equations.

Orateur: Aymeric Martin (Institut de Mathématiques de Bordeaux)