Combinatoire des (p,q)-analogues des polynômes eulériens de type bi-Stirling

par M. Chao Xu

vendredi 3 juil. 2026, 14:00 → 16:00 Europe/Paris

Bât. Braconnier - Salle 112

Le jury sera composé de :

- Jiang Zeng, Université Lyon 1, directeur de thèse.

- Guo-Niu Han, CNRS Strasbourg, rapporteur.

- Sylvie Corteel, CNRS Paris, rapporteure.

- Julien Roques, Université Lyon 1, examinateur.

- Viviane Pons, Université Paris-Saclay, examinatrice.

- Frédéric Jouhet, Université Lyon 1, invité.

- Philippe Nadeau, CNRS Lyon, invité.

 

Résumé :

Cette thèse porte sur les polynômes eulériens généralisés et les statistiques de permutations. Nous introduisons d’abord une généralisation à neuf variables des polynômes eulériens, définie à partir de statistiques de descentes, et nous établissons une formule de connexion avec les polynômes eulériens cycliques de Carlitz et Scoville. On en déduit des fonctions génératrices exponentielles explicites ainsi que plusieurs développements gamma-positifs, accompagnés d’une interprétation combinatoire des gamma-vecteurs normalisés en termes de permutations web, ou, de manière équivalente, de permutations d’André cycliques. Nous établissons ensuite des développements en fractions continues de type Jacobi pour des (p,q)-analogues de polynômes eulériens généralisés, où (p,q) encode soit les motifs vinculaires (31-2, 2-13), soit les statistiques de croisements et d’emboîtements. Ces développements conduisent à de nouveaux résultats sur la positivité totale et la gamma-positivité. De plus, nous donnons une interprétation combinatoire d’une sous-famille des nombres eulériens remixed introduits par Nadeau et Tewari, en les réalisant comme des polynômes générateurs suivant les minima de gauche à droite, les minima de droite à gauche, les descentes et un indice majeur mixte. Ces polynômes généralisent simultanément les polynômes bi-Stirling–eulériens de Carlitz–Scoville et les polynômes de Stirling–Euler–Mahoniens de Butler. Enfin, des fonctions génératrices sont obtenues pour des statistiques raffinées de descentes selon la parité sur les permutations colorées G(r,n), ce qui étend et unifie des résultats concernant les types de Coxeter classiques et permet d’évaluer les polynômes de descentes alternées signées en termes de polynômes eulériens.