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Soutenances de thèses de doctorat

Inégalités fonctionnelles dans le schéma JKO et avec le schéma JKO

par Fanch Coudreuse

→ Europe/Paris
Salle Fokko du Cloux - Bâtiment Braconnier

Salle Fokko du Cloux - Bâtiment Braconnier
Description

Le jury sera composé de :

  • M. Matteo Bonforte, Universidad Autonoma de Madrid, Rapporteur.
  • M. Guillaume Carlier, Université Paris Dauphine, Examinateur.
  • Mme. Katherina Eichinger, Inria Saclay et Université Paris-Saclay, Examinatrice.
  • M. Frédéric Lagoutière, Université Claude Bernard Lyon 1, Examinateur.
  • Mme. Marjolaine Puel, Cergy Paris Université, Examinatrice.
  • M. Filippo Santambrogio, Université Claude Bernard Lyon 1, Directeur de thèse.
  • M. Ivan Gentil, Université Clauder Bernard Lyon 1, Directeur de thèse - Invité.



Résumé : Cette thèse étudie les interactions entre les inégalités fonctionnelles, le transport optimal et le schéma de Jordan–Kinderlehrer–Otto (JKO). Son objectif principal est de comprendre comment les inégalités fonctionnelles peuvent être démontrées à l’aide du schéma, retrouvées au niveau du schéma JKO, puis utilisées pour obtenir des propriétés plus fines de régularité et de convergence pour les approximations discrètes de certaines équations de diffusion. Nous verrons tout d'abord comment le schéma JKO peut-être utilisé comme un analogue discrete des méthodes de flow à la Bakry-Émery, en obtenant ainsi de nouveaux critères pour des inégalités de Sobolev logarithmiques modifiés. Puis nous nous concentrerons sur des estimées du second ordre dans le schéma JKO, montrant des inégalités de type Li-Yau-Hamilton sur le tore pour des équations de type milieux granulaires, et d'Aronson-Bénilan pour les milieux poreux, en dimension 1 et 2 et sur des domaines simples. Enfin, nous explorerons comment la régularisation entropique peut servir comme outil pour obtenir des estimées de régularité en transport optimal et dans le schéma JKO. A l'aide de ces outils, nous verrons comment obtenir l'inégalité de Li–Yau–Hamilton dans le schéma JKO pour l’équation de Fokker–Planck quadratique sur l’espace entier, mais aussi en comment obtenir des résultats de propagation de modules de log-convexité le long du flot de chaleur discret.