Séminaire des Doctorants et Doctorantes

Des réseaux et des arbres

by Marion Jeannin

Europe/Paris
Salle Fokko du Cloux (ICJ, campus de La Doua, bât. Braconnier)

Salle Fokko du Cloux

ICJ, campus de La Doua, bât. Braconnier

Description

Les réseaux sont des objets de nature à la fois algébrique et géométrique qui interviennent de manière naturelle dans divers domaines des mathématiques de la géométrie arithmétique à la cryptographie, en passant par la combinatoire et la théorie des graphes. Il est possible de comparer ces objets en regroupant les réseaux "semblables" sur le même sommet d’un graphe planaire, qui se révèle être un arbre. La distance entre deux sommets de l’arbre traduit alors à quel point deux réseaux sont différents au vu de cette classification. L’action d’un sous-groupe G du groupe linéaire de rang 2 s’observe directement sur l’arbre. Le graphe quotient obtenu, lorsque c’est possible de le définir, nous renseigne sur les propriétés algébriques et géométriques de G, mais permet également de classifier des objets de nature plus géométrique, comme les fibrés vectoriels de rang 2 sur une courbe projective ou encore les courbes elliptiques...

Dans cet exposé je construirai l’arbre des réseaux et m’attacherai à décrire l’action de G sur celui-ci, avant d’énoncer quelques applications d’une telle construction dans la preuve de résultats divers.