Le $h^*$-polynôme des hypersimplexes de type C.

par Antoine Abram (Université de Liège)

mardi 21 avr. 2026, 10:45 → 11:45 Europe/Paris

Salle Fokko du Cloux (ICJ, Université Lyon 1)

Le $h^*$-polynôme $h^*_P(t)$ d'un polytope entier $P$ est une manière d'encoder le polynôme de Ehrhart $L_P(t)$. L'avantage de $h^*_P$ est que ses coefficients sont des entiers positifs et que leur somme est le volume (normalisé) de $P$.

Si l'on considère le $h^*$-polynôme des hypersimplexes (à moitié ouverts), nous obtenons alors un raffinement des nombres eulériens, ces derniers comptant les permutations par leurs nombres de descentes. Surprenamment, on peut décrire ce raffinement de deux manières utilisant chacune des paires de statistiques sur les permutations [Li, 2012].

Dans cette présentation, nous allons voir des résultats analogues pour le type C.

La première description des coefficients du $h^*$-polynôme des hypersimplexes de type C utilise les descentes (au sens de Coxeter) ainsi que excédences marquées (flag excedances) sur les permutations signées.

La deuxième, quant à elle, fait intervenir ce que Lam et Postnikov ont appelé les descentes circulaires et une nouvelle statistique obtenue à l'aide d'un ordre particulier sur une partie des permutations signées. Nous étudierons entre autres une bijection entre les alcôves du parallélépipède fondamental de type C et cet ordre.

 

La présentation est basée sur un travail en commun José Bastidas.