Gaétan Leclerc, "Dispersion Quantique dans un quasicristal et dynamique hyperbolique"

mardi 16 déc. 2025, 14:00 → 16:00 Europe/Paris

La dynamique quantique dans un cristal peut être modélisée
par un Hamiltonien discret sur l^2(Z), associé à un potentiel V: Z->R
périodique. Dans ce cas, le spectre de l'Hamiltonien est absolument
continu, et les états quantiques se dispersent avec le temps. Un cas
bien plus subtil est celui des quasi-cristaux (comme l'alliage
Aluminium-Palladium-Manganèse, ou comme l'icosahédrite trouvée sur la
météorite de Khatyrka), modélisés par un hamiltonien discret associé
cette fois a un potentiel quasi-périodique. Dans ce cas, le spectre du
Hamiltonien est typiquement un Cantor, et les mesures spectrales sont
donc bien plus difficiles à étudier..
Dans certains cas, on dispose d'une interprétation dynamique du
spectre. Par exemple, pour le modèle du "Hamiltonien de Fibonacci"
(Fibonacci Hamiltonian), le spectre peut en fait être caractérisé
comme l'ensemble des points qui dont l'orbite positive reste bornée
sous l'action d'un certain système dynamique hyperbolique T :
"l'application Trace de Fibonacci" (Fibonacci Trace map). L'étude de
la dispersion des états quantiques dans ce quasi-cristal peut alors
être ramenée à l'étude de cette application Trace. Plus précisément,
les propriétés de la transformée de Fourier de la mesure d'entropie
maximale de T (supportée sur un Cantor en dimension 2) vont être
cruciales à étudier..
L'objectif de cet exposé est d'expliquer les liens entre les
quasi-cristaux, la dynamique hyperbolique, et l'étude de la
transformée de Fourier de mesures fractales. Il se base sur le
preprint: https://arxiv.org/abs/2507.23731 , dans lequel les méthodes
de Tsujii-Zhang sur le mélange exponentiel des flots d'Anosov ont été
adaptées pour prouver de la dispersion dans le quasi-cristal de
Fibonacci..