Ruben Louis, "Résolution de singularités et intégration des feuilletages singuliers"

mardi 9 déc. 2025, 14:00 → 16:00 Europe/Paris

Un feuilletage décompose une variété différentielle en « couches » appelées feuilles. Dans de nombreuses situations géométriques — par exemple les fibres d’une submersion (où les couches ont toutes la même dimension), les orbites d’une action de groupe de Lie, les feuilles symplectiques d’une structure de Poisson ou encore les symétries d’une fonction — ces couches n’ont pas toutes la même dimension : on parle alors de feuilletage singulier. Ces singularités rendent l’analyse géométrique délicate..
Dans la première partie de l’exposé, j’expliquerai comment résoudre ces singularités en remplaçant le feuilletage initial par un modèle plus régulier grâce à un procédé d’éclatement au sens de Nash. Cette méthode initiée par Omar Mohsen permet de comprendre un feuilletage singulier comme l’image d’un algébroïde de Lie presque régulier, c’est-à-dire l’image d’un algébroïde de Lie dont l’ancre est injective sur un ouvert dense. Cette méthode s’applique également aux algébroïdes de Lie : plus précisément, tout algébroïde de Lie A admet un éclatement de type Nash(A), qui s’insère dans une suite exacte courte d’algébroïdes de Lie
                                                                0⟶K⟶Nash(A)⟶D⟶0,
            où K est un fibré en algèbres de Lie et D un algébroïde de Lie dont l’ancre est injective sur un ouvert dense..
Cette construction s’inspire des travaux de O. Mohsen en géométrie non commutative, où il a introduit une construction d’éclatement du groupoïde d’holonomie d’Androulidakis et Skandalis. La terminologie « Nash » vient du fait que ce type d’éclatement a été développé par le mathématicien J. Nash, principalement en géométrie algébrique, pour la désingularisation..         
 2.  Dans la seconde partie, j’aborderai un résultat récent (en collaboration avec C. Laurent-Gengoux) : lorsque le feuilletage singulier admet une résolution géométrique (au sens de Lavau-C.L.-Strobl), on peut l’intégrer en un objet global lisse, un groupoïde de Lie supérieur de dimension finie. Pour cela, on utilise de manière récursive les bi-submersions, un outil issu de la géométrie non commutative. Le groupoïde obtenu est une variété Kan-simplicial dont la 1-troncature retrouve le groupoïde d’holonomie classique d’Androulidakis — Skandalis..

Références :
https://link.springer.com/article/10.1007/s00209-025-03825-4
A series of Nash resolutions of a singular foliation | EMS Press
The holonomy Lie $\infty$-groupoid of a singular foliation I