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Géométrie, Algèbre, Dynamique et Topologie
Christopher-Lloyd Simon, "Pseudo-caractères du groupe modulaire via l'enlacement des nœuds modulaires"
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Europe/Paris
Description
Le groupe modulaire PSL(2;Z) agit sur le plan hyperbolique avec pour quotient la surface modulaire M,
dont le fibré tangent unitaire U est une 3-variété homéomorphe au complément du nœud trèfle dans la sphère.
Les classes de conjugaison hyperboliques de PSL(2;Z) correspondent aux géodésiques orientées fermées dans M.
Celles-ci se relèvent aux orbites périodiques pour le flot géodésique dans U, que l'on appelle nœuds modulaires.
Le nombre d'enlacement entre un nœud modulaire et le nœud trèfle est bien compris :
E. Ghys et J. Barge ont montré que c'est un pseudocaractère de PSL(2;Z)
qui coïncide avec la fonction de Rademacher, dont M. Atiyah avait montré l'ubiquité
l'identifiant avec six autres fonctions importantes dans divers domaines des mathématiques.
Qu'en est-il du nombre d'enlacement entre deux nœuds modulaires ? Nous verrons qu'ils permettent
de trouver une base pour l'espace vectoriel topologique de tous les pseudocaractères PSL(2;Z).
Cela s'interprète comme une théorie (de Fourier) des pseudocaractères du groupe modulaire.
L'exposé introduira toutes les notions nécessaires à sa compréhension
(l'espace des pseudocaractères d'un groupe, bases de Schauder d'un espace vectoriel topologique,
la géométrie et topologie du groupe modulaire, les nombres d'enlacement entre nœuds modulaires, etc).
dont le fibré tangent unitaire U est une 3-variété homéomorphe au complément du nœud trèfle dans la sphère.
Les classes de conjugaison hyperboliques de PSL(2;Z) correspondent aux géodésiques orientées fermées dans M.
Celles-ci se relèvent aux orbites périodiques pour le flot géodésique dans U, que l'on appelle nœuds modulaires.
Le nombre d'enlacement entre un nœud modulaire et le nœud trèfle est bien compris :
E. Ghys et J. Barge ont montré que c'est un pseudocaractère de PSL(2;Z)
qui coïncide avec la fonction de Rademacher, dont M. Atiyah avait montré l'ubiquité
l'identifiant avec six autres fonctions importantes dans divers domaines des mathématiques.
Qu'en est-il du nombre d'enlacement entre deux nœuds modulaires ? Nous verrons qu'ils permettent
de trouver une base pour l'espace vectoriel topologique de tous les pseudocaractères PSL(2;Z).
Cela s'interprète comme une théorie (de Fourier) des pseudocaractères du groupe modulaire.
L'exposé introduira toutes les notions nécessaires à sa compréhension
(l'espace des pseudocaractères d'un groupe, bases de Schauder d'un espace vectoriel topologique,
la géométrie et topologie du groupe modulaire, les nombres d'enlacement entre nœuds modulaires, etc).