L’un des enjeux majeurs en théorie des nombres est de déterminer l’existence de relations, qu’elles soient algébriques ou linéaires, entre des nombres complexes donnés. Lorsqu’il s’agit de valeurs de fonctions en des points algébriques, toute relation entre les fonctions induit, par spécialisation, une relation entre ces nombres. L’objectif ultime serait alors de montrer que toutes les relations entre ces valeurs découlent nécessairement de cette spécialisation.
Cependant, démontrer un tel résultat s’avère extrêmement difficile en général. Deux cadres bénéficient néanmoins d’une théorie avancée : celui des E-fonctions de Siegel et celui des M-fonctions de Mahler.
Dans le cas des E-fonctions, le théorème de Siegel-Shidlovskii et son raffinement par Beukers offrent une compréhension profonde des relations entre valeurs. Pourtant, il existe des relations entre valeurs de E-fonctions qui ne résultent pas directement d’une spécialisation des relations fonctionnelles. L’étude de ces relations "exceptionnelles" passe généralement par l’analyse des singularités du système différentiel associé.
Dans cet exposé, nous adoptons une approche différente pour comprendre ces phénomènes. Nous démontrons que toute relation algébrique entre valeurs de E-fonctions en un point algébrique non nul provient nécessairement de la spécialisation d’une relation algébro-différentielle entre les fonctions elles-mêmes. Nous établissons un résultat analogue pour les M-fonctions.
Ces travaux résultent d’une collaboration avec Boris Adamczewski.
