Le Groupoïde de Malgrange est une généralisation aux équations différentielles non-linéaire du groupe de Galois différentiel. Il n’y a pas pour l’instant de méthode générale pour le déterminer. En partant de travaux de Casale, nous avons élaboré dans un travail précédent une stratégie permettant pour certaines équations de déterminer ce groupoïde de Malgrange. On considère une équation différentielle de Painlevé pour laquelle on suppose connaitre une solution particulière algébrique. En linéarisant le long de cette solution, on obtient des équations variationnelles représentables par des systèmes différentiels linéaires imbriqués. Ces équations ont des groupes de Galois différentiels G_k. Casale avait montré que ces groupes G_k pouvaient être plongés dans le groupoïde de Malgrange ; avec Casale, nous avons donné un critère qui, à partir de ces groupes G_k, permet de déterminer le groupoïde de Malgrange et nous généralisons ce critère. Nous montrons ensuite comment calculer efficacement ces groupes de Galois différentiels G_k avec des techniques que l’on peut détailler sur certaines équations de Painlevé.
Travail joint avec Guy Casale et Primitivo Acosta Humanez.
