Soient A un anneau commutatif, B une A-algèbre commutative de présentation finie et M un B-module de présentation finie. La platitude de M en tant que A-module est un problème classique de géométrie algébrique relative qui a été étudié en détails par Grothendieck et dont une approche majeure a été donnée par Raynaud et Gruson dans leur article "Critères de platitude et de projectivité".
Leur résultat principal prouve que M est A-plat si et seulement si, localement pour la topologie étale sur Spec(A) et Spec(B), le A-module M possède une suite de composition finie, dont les quotients successifs sont les A-modules sous-jacents à des modules libres de type fini sur des A-algèbres lisses Bi à fibres géométriquement intègres. Ce théorème de structure permet dans une large mesure de ramener l'étude locale des A-modules plats à celle des modules libres sur des A-algèbres lisses.
II se trouve que les méthodes de Raynaud et Gruson ont tendance à s'étendre au monde analytique, notamment aux modules cohérents sur un espace analytique au sens de Berkovich. Le but de cet exposé est de présenter de tels résultats. On commencera par donner une présentation des espaces analytiques au sens de Berkovich. Ensuite, nous présenterons les résultats d'aplatissements obtenus grâce aux méthodes de Raynaud et Gruson.
