L'objectif de cet exposé est de mettre en évidence des liens profonds entre les méthodes numériques de splitting et la théorie du contrôle. Nous considérons des équations différentielles de la forme x' = f0(x) + f1(x), où f0 encode une dynamique non réversible, de sorte que l'on s'intéresse à des schémas impliquant uniquement des flots de f0 vers l'avant. Dans ce contexte, une méthode de splitting peut être interprétée comme une trajectoire du système de contrôle affine x'(t)=f0(x(t))+u(t) f1(x(t)), associée à un contrôle u qui est une somme finie de masses de Dirac. L'objectif est alors de trouver un contrôle tel que le flot de f0 + u(t)f1 soit aussi proche que possible du flot de f0 + f1.
En utilisant cette interprétation et des outils classiques de la théorie du contrôle, nous revisitons des résultats bien connus concernant les méthodes numériques de splitting, et nous en prouvons de nouveaux, en mettant l'accent sur les splittings avec des conditions de positivité sur les coefficients. Tout d'abord, nous montrons qu'il existe des schémas numériques d'un ordre arbitraire impliquant uniquement des flots vers l'avant de f0, si l'on autorise des coefficients complexes pour les flots de f1. De manière équivalente, pour les contrôles à valeurs complexes, nous prouvons que la condition de rang sur l'algèbre de Lie est équivalente à la contrôlabilité locale en temps petit d'un système. Deuxièmement, pour les coefficients à valeurs réelles, nous montrons que les restrictions d'ordre bien connues sont liées à ce que l'on appelle les « mauvais » crochets de Lie de la théorie du contrôle, dont on sait qu'ils constituent des obstacles à la contrôlabilité locale en temps petit. Nous utilisons notre base de l'algèbre de Lie libre pour identifier précisément les conditions sous lesquelles les méthodes d'ordre élevé existent.
Il s'agit d'un travail en collaboration avec Adrien Laurent et Frédéric Marbach.
